Каков будет множитель, на который увеличится объем конуса, если уменьшить его высоту на 1/4 от начальной и увеличить

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \]

где \( V \) - объем, \( r \) - радиус основания и \( h \) - высота конуса.

Дано, что высоту конуса уменьшили на \(\frac{1}{4}\) от начальной, то есть новая высота будет равна \( h - \frac{1}{4}h = \frac{3}{4}h \).

Также дано, что радиус основания увеличили в 4 раза, то есть новый радиус будет равен \( 4r \).

Теперь мы можем подставить новые значения радиуса и высоты в формулу объема конуса:

\[ V" = \frac{1}{3}\pi (4r)^2 \left(\frac{3}{4}h\right) \]

Упростим это выражение:

\[ V" = \frac{1}{3}\pi 16r^2 \cdot \frac{3}{4}h \]

Умножим числитель и знаменатель на число \(\frac{3}{3}\), чтобы сократить дробь:

\[ V" = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{3} \cdot 16r^2 \cdot \frac{3}{4}h \]

Теперь можем переставить множители в любом порядке:

\[ V" = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} \cdot 16r^2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot h \]

Сократим дроби и упростим выражение:

\[ V" = \frac{16}{3} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot r^2 \cdot h \]

Мы получили новый объем конуса \( V" \), выраженный через начальный радиус \( r \) и высоту \( h \). Обратите внимание, что полученное выражение содержит неизвестный коэффициент \(\frac{16}{3} \cdot \frac{\pi}{4}\), который является множителем, на который увеличится объем конуса.

Таким образом, ответ на задачу: множитель, на который увеличится объем конуса при уменьшении высоты на \(\frac{1}{4}\) от начальной и увеличении радиуса основания в 4 раза, равен \(\frac{16}{3} \cdot \frac{\pi}{4}\).