Какое значением высших комплексных чисел z, где z = (1-i)^100 / (корень 3+i)^50?

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала, посмотрим на числитель. У нас есть высшая степень комплексного числа \(1-i\) во второй степени, поэтому мы можем возвести его в эту степень с помощью формулы для возведения комплексного числа в степень. По этой формуле, \((a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2\), где \(a\) и \(b\) - это действительные числа.

Применяя эту формулу к \(1-i\), получаем:

\((1-i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (-i) + (-i)^2 = 1 - 2i + i^2\)

Вспомним, что \(i\) - это мнимая единица, которая определяется так, что \(i^2 = -1\). Подставляя это значение, получаем:

\((1-i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i\)

2. Теперь посмотрим на знаменатель. У нас есть высшая степень комплексного числа \(\sqrt{3} + i\) в пятойдесятой степени. Мы можем использовать ту же формулу для возведения комплексного числа в степень, чтобы вычислить это значение.

Применяя формулу, получаем:

\((\sqrt{3} + i)^{50} = (\sqrt{3})^{50} + 50 \cdot (\sqrt{3})^{49} \cdot i + \ldots + i^{50}\)

Поскольку \(i\) - это мнимая единица, которая определяется как \(i^2 = -1\), мы знаем, что все степени \(i\), начиная со второй, будут равны -1 или 1. Таким образом, все члены в разложении, содержащие \(i\), будут иметь вид \(\pm i\). Подставляя это значение, мы получаем:

\((\sqrt{3} + i)^{50} = (\sqrt{3})^{50} + 50 \cdot (\sqrt{3})^{49} \cdot i + \ldots + (\pm i)^{50} = (\sqrt{3})^{50} + 50 \cdot (\sqrt{3})^{49} \cdot i + \ldots + 1\)

3. Теперь у нас есть числитель и знаменатель, и мы можем поделить их. Значение комплексного числа \(z\) равно этому отношению:

\[z = \frac{(1-i)^{100}}{(\sqrt{3} + i)^{50}} = \frac{-2i}{(\sqrt{3})^{50} + 50 \cdot (\sqrt{3})^{49} \cdot i + \ldots + 1}\]

Здесь очень много слагаемых, и непосредственное вычисление может быть достаточно сложным. Однако мы можем упростить выражение, чтобы ответ был более компактным.

4. Обратим внимание, что в знаменателе у нас есть несколько слагаемых, содержащих \(\sqrt{3}\). Мы можем сгруппировать эти слагаемые, чтобы получить более компактное выражение. Для этого умножим и поделим знаменатель на \(\sqrt{3}\). Получаем:

\[z = \frac{-2i}{(\sqrt{3})^{50} + 50 \cdot (\sqrt{3})^{49} \cdot i + \ldots + 1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

5. Теперь домножим и разделим знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[z = \frac{-2i \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{49} + 50 \cdot (\sqrt{3})^{49} \cdot i + \ldots + \sqrt{3}}\]

6. Мы можем вынести \(\sqrt{3}\) за скобки в знаменателе:

\[z = \frac{-2i \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{49} \cdot (1 + 50i + \ldots + \frac{1}{\sqrt{3}})}\]

7. Теперь заметим, что скобки в знаменателе представляют собой сумму геометрической прогрессии. Мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии, чтобы упростить это выражение. Формула гласит:

\[\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}\]

где \(a\) - это первый член прогрессии, \(r\) - это знаменатель прогрессии, и \(n\) - это количество членов в сумме.

Применим эту формулу к нашему случаю. В нашей сумме первый член \(a = 1\), знаменатель прогрессии \(r = 50i\), и в сумме содержится 50 слагаемых (\(n = 49\)).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[\sum_{k=0}^{49} (50i)^k = \frac{1 - (50i)^{50}}{1 - 50i}\]

8. Подставим это выражение обратно в нашу формулу для \(z\):

\[z = \frac{-2i \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{49} \cdot (1 + 50i + \ldots + \frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{-2i \cdot \sqrt{3}}{\frac{1 - (50i)^{50}}{1 - 50i}}\]

9. У нас осталось только разделить числитель на знаменатель. Для этого мы можем умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя. Комплексно-сопряженное значение комплексного числа \(a+bi\) можно записать как \(a-bi\). Применив это к нашей задаче, получаем:

\[z = \frac{-2i \cdot \sqrt{3} \cdot (1 - 50i)}{\frac{1 - (50i)^{50}}{1 - 50i} \cdot (1 - 50i)}\]

10. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, и упростим выражение:

\[z = \frac{-2i \cdot \sqrt{3} - 100\sqrt{3} - 100i - 150i^2}{1 - 100(50i) + (50i)^2 - (50i)^3 + \ldots - (50i)^{50} + 2500}\]

Заметим, что \(i^2 = -1\) и \(i^3 = -i\). Мы можем применить эти значения, чтобы упростить числитель и знаменатель:

\[z = \frac{-2i \cdot \sqrt{3} - 100\sqrt{3} - 100i + 150}{1 - 5000i - 2500 + 50i + \ldots + (50i)^{49} - (50i)^{50} + 2500}\]

11. Продолжим упрощать:

\[z = \frac{-100\sqrt{3} - 100i + 150 - 2i \cdot \sqrt{3}}{5000 + 150 - 4900i + 50i + \ldots + (50i)^{49} - (50i)^{50} + 2500}\]

12. Мы можем объединить коэффициенты при одинаковых мнимых единицах в числителе:

\[z = \frac{-100\sqrt{3} + 150 - 100i - 2i \cdot \sqrt{3}}{5000 + 150 - 4900i + 50i + \ldots + (50i)^{49} - (50i)^{50} + 2500}\]

13. Далее, упростим числитель:

\[z = \frac{(-100\sqrt{3} + 150) + (-100i - 2i \cdot \sqrt{3})}{5000 + 150 - 4900i + 50i + \ldots + (50i)^{49} - (50i)^{50} + 2500}\]

14. Мы можем выделить общие коэффициенты при действительной и мнимой частях:

\[z = \frac{-100(\sqrt{3} - 1) - i(100 + 2\sqrt{3})}{5000 + 150 - 4900i + 50i + \ldots + (50i)^{49} - (50i)^{50} + 2500}\]

15. Числитель несколько сложен, но мы можем упростить его дальше, если нужно. Однако, данный ответ уже является довольно подробным и может быть понятным школьнику.

Таким образом, значение \(z\) равно:

\[z = \frac{-100(\sqrt{3} - 1) - i(100 + 2\sqrt{3})}{5000 + 150 - 4900i + 50i + \ldots + (50i)^{49} - (50i)^{50} + 2500}\]