Какое значение скорости материальной точки будет максимальным при гармонических колебаниях, описываемых законом

Для решения этой задачи нам необходимо знать, как связано перемещение (х) материальной точки с временем (t) в гармонических колебаниях. Из данного закона движения можем заметить, что перемещение точки описывается гармонической функцией cos((2п/3)*t+п/4), где коэффициент 0,3 отвечает за амплитуду колебаний.

Мы также знаем, что скорость материальной точки (v) равна производной от ее перемещения по времени: $v=\frac{d}{dt}x$.

Для нахождения максимального значения скорости необходимо найти момент времени, когда скорость достигает своего максимума. Это происходит, когда производная от перемещения по времени равна нулю.

Производная от х относительно времени вычисляется по правилу дифференцирования функции cos:

$$\frac{d}{dt}(0,3\cos (\frac{2\pi }{3}t+\frac{\pi }{4}))=-0,3\cdot \frac{2\pi }{3}\sin (\frac{2\pi }{3}t+\frac{\pi }{4})$$

Теперь нам нужно найти те значения времени, при которых производная равна нулю. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$$-0,3\cdot \frac{2\pi }{3}\sin (\frac{2\pi }{3}t+\frac{\pi }{4})=0$$

Косинус и синус функций равен нулю, когда параметр внутри них равен (2k+1)π/2, где k - целое число.

$$\frac{2\pi }{3}t+\frac{\pi }{4}=\frac{(2k+1)\pi }{2}$$

$$t=\frac{(2k+1)\pi -\frac{\pi }{4}}{\frac{2\pi }{3}}=\frac{(2k+1)\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{(2k+1)\pi }{2}-\frac{3\pi }{8}$$

Теперь мы получили формулу для моментов времени, в которые скорость будет максимальной. Чтобы найти значение скорости в этих моментах, подставим найденные значения времени $\frac{(2k+1)\pi }{2}-\frac{3\pi }{8}$ в формулу для скорости:

$v=-0,3\cdot \frac{2\pi }{3}\sin (\frac{2\pi }{3}(\frac{(2k+1)\pi }{2}-\frac{3\pi }{8})+\frac{\pi }{4})$

Упростив это выражение, мы можем найти значение скорости в каждый из моментов.

Например, при k=0:

$v=-0,3\cdot \frac{2\pi }{3}\sin (\frac{2\pi }{3}(\frac{(2\cdot 0+1)\pi }{2}-\frac{3\pi }{8})+\frac{\pi }{4})=-0,3\cdot \frac{2\pi }{3}\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)$

Таким образом, мы можем продолжить вычислять значения скорости для каждого найденного момента времени, подставляя их в формулу для скорости.

После нахождения всех значений скорости, мы сможем определить максимальное значение скорости материальной точки, выбрав наибольшее из них.