Какое значение скорости материальной точки будет максимальным при гармонических колебаниях, описываемых законом

Для решения этой задачи нам необходимо знать, как связано перемещение (х) материальной точки с временем (t) в гармонических колебаниях. Из данного закона движения можем заметить, что перемещение точки описывается гармонической функцией cos((2п/3)*t+п/4), где коэффициент 0,3 отвечает за амплитуду колебаний.

Мы также знаем, что скорость материальной точки (v) равна производной от ее перемещения по времени: \(v = \frac{d}{dt} x\).

Для нахождения максимального значения скорости необходимо найти момент времени, когда скорость достигает своего максимума. Это происходит, когда производная от перемещения по времени равна нулю.

Производная от х относительно времени вычисляется по правилу дифференцирования функции cos:

\[\frac{d}{dt} \left(0,3\cos\left(\frac{2\pi}{3}t + \frac{\pi}{4}\right)\right) = -0,3\cdot\frac{2\pi}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}t + \frac{\pi}{4}\right)\]

Теперь нам нужно найти те значения времени, при которых производная равна нулю. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[-0,3\cdot\frac{2\pi}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}t + \frac{\pi}{4}\right) = 0\]

Косинус и синус функций равен нулю, когда параметр внутри них равен (2k+1)π/2, где k - целое число.

\[\frac{2\pi}{3}t + \frac{\pi}{4} = \frac{(2k+1)\pi}{2}\]

\[t = \frac{(2k+1)\pi - \frac{\pi}{4}}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{(2k+1)\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\cdot\frac{3}{2} = \frac{(2k+1)\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\]

Теперь мы получили формулу для моментов времени, в которые скорость будет максимальной. Чтобы найти значение скорости в этих моментах, подставим найденные значения времени \(\frac{(2k+1)\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\) в формулу для скорости:

\(v = -0,3\cdot\frac{2\pi}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\left(\frac{(2k+1)\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\right) + \frac{\pi}{4}\right)\)

Упростив это выражение, мы можем найти значение скорости в каждый из моментов.

Например, при k=0:

\(v = -0,3\cdot\frac{2\pi}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\left(\frac{(2\cdot0+1)\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\right) + \frac{\pi}{4}\right) = -0,3\cdot\frac{2\pi}{3}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\)

Таким образом, мы можем продолжить вычислять значения скорости для каждого найденного момента времени, подставляя их в формулу для скорости.

После нахождения всех значений скорости, мы сможем определить максимальное значение скорости материальной точки, выбрав наибольшее из них.