Какое значение имеет выражение 11cos(π+β)−3sin((π/2)+β), если cosβ=−(1/7)?

Для того чтобы найти значение выражения \(11\cos(\pi+\beta)-3\sin(\frac{\pi}{2}+\beta)\), нам понадобится значение \(\cos\beta\) и \(\sin\beta\). Поскольку дано значение \(\cos\beta=-\frac{1}{7}\), мы можем найти значение \(\sin\beta\) с помощью тригонометрической тождества \(\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1\).

\(\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1\)

\(\sin^2\beta + (-\frac{1}{7})^2 = 1\)

\(\sin^2\beta + \frac{1}{49} = 1\)

\(\sin^2\beta = 1 - \frac{1}{49}\)

\(\sin^2\beta = \frac{48}{49}\)

\(\sin\beta = \pm\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{49}}\) (возьмём положительный знак, так как синус угла положителен)

\(\sin\beta = \frac{4\sqrt{3}}{7}\)

Теперь мы можем подставить значения \(\cos\beta\) и \(\sin\beta\) в исходное выражение:

\(11\cos(\pi+\beta)-3\sin(\frac{\pi}{2}+\beta)\)

\(11\cos\pi\cos\beta - 11\sin\pi\sin\beta - 3\cos\frac{\pi}{2}\sin\beta - 3\sin\frac{\pi}{2}\cos\beta\)

Так как \(\cos\pi = -1\) и \(\sin\pi = 0\), а \(\cos\frac{\pi}{2} = 0\) и \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\), мы можем продолжить упрощение:

\(-11\cos\beta - 3\sin\beta\)

\(-11\left(-\frac{1}{7}\right) - 3\left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)\)

\(\frac{11}{7} - \frac{12\sqrt{3}}{7}\)

\(\frac{11-12\sqrt{3}}{7}\)

Таким образом, значение выражения \(11\cos(\pi+\beta)-3\sin(\frac{\pi}{2}+\beta)\), при условии \(\cos\beta=-\frac{1}{7}\), равно \(\frac{11-12\sqrt{3}}{7}\).