Какое значение имеет производная функции z=x^2-2xy+3y-1 в точке (1;2) по направлению l (1; -1)? Варианты ответа

Так как в задаче указано, что необходимо найти производную функции \(z\) по направлению \(l\) в точке \((1;2)\), мы можем воспользоваться понятием градиента функции и дифференциала.

Градиентом функции \(z\) называется вектор, состоящий из частных производных этой функции по каждой из переменных. В данном случае у нас две переменные \(x\) и \(y\), поэтому градиентом функции \(z\) будет вектор \(\nabla z = \left(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}, \frac{{\partial z}}{{\partial y}}\right)\).

Теперь найдем частные производные функции \(z(x, y)\). Для этого продифференцируем \(z\) по переменным \(x\) и \(y\) поочередно. Получим:

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2x - 2y \quad \text{и} \quad \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = -2x + 3.
\]

Теперь, чтобы найти значение производной функции \(z\) в точке \((1;2)\) по направлению \(l(1;-1)\), мы воспользуемся формулой:

\[
\frac{{dz}}{{dl}} = \nabla z \cdot \frac{{dl}}{{\|dl\|}},
\]

где \(\nabla z\) - градиент функции \(z\), а \(\frac{{dl}}{{\|dl\|}}\) - нормированный вектор направления \(l\).

Подставляем значения в формулу:

\[
\frac{{dz}}{{dl}} = \left(2x - 2y, -2x + 3\right) \cdot \left(\frac{1}{{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}}, \frac{-1}{{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}}\right).
\]

Упрощаем выражение:

\[
\frac{{dz}}{{dl}} = (2x - 2y, -2x + 3) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
\]

Вычислим значения градиента функции в точке \((1;2)\):

\[
\frac{{dz}}{{dl}} = (2(1) - 2(2), -2(1) + 3) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
\]

Подставляем значения и производим вычисления:

\[
\frac{{dz}}{{dl}} = (-2, 1) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{3}{\sqrt{2}}.
\]

Таким образом, значение производной функции \(z\) в точке \((1;2)\) по направлению \(l(1;-1)\) равно \(-\frac{3}{\sqrt{2}}\). Ответ на задачу: нет вариантов ответа a, b или c.