Какое векторное произведение надо найти для данных векторов a=3i+4j+k, b=i-2j+7k и c=3i-6j+21k?

Для того, чтобы найти векторное произведение трех данных векторов \(a = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k}\), \(b = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 7\mathbf{k}\) и \(c = 3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 21\mathbf{k}\), мы можем использовать определитель. Векторное произведение векторов \(a\) и \(b\) обозначается как \(a \times b\).

1. Векторное произведение можно найти следующим образом:

\[
\begin{align*}
a \times b &= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & 4 & 1 \\
1 & -2 & 7 \\
\end{vmatrix} \\
&= (4 \cdot 7 - (-2) \cdot 1)\mathbf{i} - (3 \cdot 7 - 1 \cdot 1)\mathbf{j} + (3 \cdot (-2) - 1 \cdot 4)\mathbf{k} \\
&= 30\mathbf{i} - 20\mathbf{j} - 10\mathbf{k}
\end{align*}
\]

Таким образом, векторное произведение \(a \times b\) равно \(30\mathbf{i} - 20\mathbf{j} - 10\mathbf{k}\).

2. Теперь найдем векторное произведение \(a \times c\):

\[
\begin{align*}
a \times c &= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & 4 & 1 \\
3 & -6 & 21 \\
\end{vmatrix} \\
&= (4 \cdot 21 - (-6) \cdot 1)\mathbf{i} - (3 \cdot 21 - 1 \cdot 3)\mathbf{j} + (3 \cdot (-6) - 1 \cdot 4)\mathbf{k} \\
&= 90\mathbf{i} - 60\mathbf{j} - 22\mathbf{k}
\end{align*}
\]

Таким образом, векторное произведение \(a \times c\) равно \(90\mathbf{i} - 60\mathbf{j} - 22\mathbf{k}\).

3. Наконец, найдем векторное произведение \(b \times c\):

\[
\begin{align*}
b \times c &= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -2 & 7 \\
3 & -6 & 21 \\
\end{vmatrix} \\
&= (-2 \cdot 21 - (-6) \cdot 7)\mathbf{i} - (1 \cdot 21 - 3 \cdot 3)\mathbf{j} + (1 \cdot (-6) - (-2) \cdot 3)\mathbf{k} \\
&= -60\mathbf{i} + 12\mathbf{j} - 12\mathbf{k}
\end{align*}
\]

Таким образом, векторное произведение \(b \times c\) равно \(-60\mathbf{i} + 12\mathbf{j} - 12\mathbf{k}\).

Итак, векторные произведения для данных векторов \(a\), \(b\) и \(c\) являются:

\(a \times b = 30\mathbf{i} - 20\mathbf{j} - 10\mathbf{k}\)

\(a \times c = 90\mathbf{i} - 60\mathbf{j} - 22\mathbf{k}\)

\(b \times c = -60\mathbf{i} + 12\mathbf{j} - 12\mathbf{k}\)

Надеюсь, что это решение понятно для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.