Какое уравнение параболы можно составить, если известны координаты её фокуса (4;3) и уравнение директрисы y+1=0?

Чтобы определенно составить уравнение параболы, зная координаты фокуса и уравнение директрисы, мы должны использовать определение параболы, которая говорит, что парабола - это место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.

Уравнение директрисы дано в виде y + 1 = 0. Это означает, что координата y директрисы равна -1. Таким образом, точка на директрисе будет иметь координаты (x, -1), где x - любое действительное число.

Фокус параболы имеет координаты (4, 3). Пусть (x, y) - произвольная точка на параболе.

Используя определение параболы, можем записать следующее:

Расстояние от точки (x, y) до фокуса (4, 3) должно быть равно расстоянию от точки (x, y) до директрисы (x, -1):

\[
\sqrt{{(x - 4)}^2 + {(y - 3)}^2} = |y - (-1)|
\]

\[
\sqrt{{(x - 4)}^2 + {(y - 3)}^2} = |y + 1|
\]

Чтобы исключить модуль со знаком, мы можем рассмотреть два случая:

1) \(y + 1 \geq 0\)

Тогда модуль |y + 1| можно просто заменить выражением (y + 1):

\[
\sqrt{{(x - 4)}^2 + {(y - 3)}^2} = y + 1
\]

2) \(y + 1 < 0\)

В этом случае модуль |y + 1| можно заменить выражением -(y + 1):

\[
\sqrt{{(x - 4)}^2 + {(y - 3)}^2} = -(y + 1)
\]

Отдельно рассмотрим каждый из случаев:

1) \(y + 1 \geq 0\):

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
{(x - 4)}^2 + {(y - 3)}^2 = {(y + 1)}^2
\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[
x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = y^2 + 2y + 1
\]

Сократим одинаковые члены:

\[
x^2 - 8x + 25 = 0
\]

Таким образом, получаем уравнение параболы:

\[
x^2 - 8x + 25 = 0
\]

2) \(y + 1 < 0\):

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
{(x - 4)}^2 + {(y - 3)}^2 = {-(y + 1)}^2
\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[
x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = y^2 + 2y + 1
\]

Сократим одинаковые члены:

\[
x^2 - 8x + 25 = 0
\]

Даже во втором случае мы получили то же самое уравнение параболы:

\[
x^2 - 8x + 25 = 0
\]

В обоих случаях уравнение параболы будет иметь вид \(x^2 - 8x + 25 = 0\).

Последнее, но важное замечание: уравнение параболы, которое мы получили, представляет только верхнюю часть параболы (параболу, ориентированную вверх). Если вам нужно уравнение параболы, ориентированной вниз, вы можете использовать уравнение, где знак перед выражением \(x^2 - 8x + 25\) будет отрицательным.