Какое уравнение описывает окружность, вписанную в треугольник SPQ в прямоугольной системе координат с вершинами

Для того чтобы найти уравнение окружности, вписанной в треугольник SPQ, мы должны использовать свойство вписанной окружности треугольника.

Итак, первым шагом нам нужно найти середины сторон треугольника SPQ. Для этого мы можем использовать формулу нахождения середины отрезка между двумя точками:

\[x_m = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y_m = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка, а (xm, ym) - координаты середины отрезка.

Найдем середины сторон треугольника SPQ:

Середина стороны SP:
\[x_{SP} = \frac{{-2 + 2}}{2} = 0\]
\[y_{SP} = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\]

Середина стороны PQ:
\[x_{PQ} = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\]
\[y_{PQ} = \frac{{4 + 5}}{2} = \frac{9}{2}\]

Середина стороны QS:
\[x_{QS} = \frac{{-2 + 2}}{2} = 0\]
\[y_{QS} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\]

Далее, мы должны найти длины сторон треугольника SPQ. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Где d - длина стороны треугольника, (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов стороны.

Найдем длины сторон треугольника SPQ:

Длина стороны SP:
\[d_{SP} = \sqrt{{(0 - (-2))^2 + (\frac{5}{2} - 1)^2}} = \sqrt{{2^2 + (\frac{5}{2} - 1)^2}} = \sqrt{{4 + (\frac{5}{2} - 1)^2}}\]

Длина стороны PQ:
\[d_{PQ} = \sqrt{{(2 - 2)^2 + (\frac{9}{2} - 4)^2}} = \sqrt{{0^2 + (\frac{9}{2} - 4)^2}} = \sqrt{{(\frac{9}{2} - 4)^2}}\]

Длина стороны QS:
\[d_{QS} = \sqrt{{(0 - (-2))^2 + (3 - 1)^2}} = \sqrt{{2^2 + 2^2}} = \sqrt{{4 + 4}} = \sqrt{{8}}\]

Теперь, используя свойства вписанной окружности треугольника, мы знаем, что радиус вписанной окружности равен половине суммы длин сторон треугольника, поделенной на полупериметр треугольника:

\[r = \frac{{d_{SP} + d_{PQ} + d_{QS}}}{2\cdot p}\]

Где r - радиус окружности, dSP, dPQ и dQS - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника, определяемый как \(p = \frac{{d_{SP} + d_{PQ} + d_{QS}}}{2}\).

Таким образом, радиус вписанной окружности равен:

\[r = \frac{{d_{SP} + d_{PQ} + d_{QS}}}{2\cdot \frac{{d_{SP} + d_{PQ} + d_{QS}}}{2}} = \frac{{d_{SP} + d_{PQ} + d_{QS}}}{{d_{SP} + d_{PQ} + d_{QS}}} = 1\]

Теперь мы знаем радиус вписанной окружности, а также ее центр. Чтобы получить уравнение окружности, вспомним его общую форму:

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]

Где (x, y) - произвольная точка окружности, (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Таким образом, уравнение окружности, вписанной в треугольник SPQ, имеет вид:

\[(x - 0)^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = 1^2\]