Какое уравнение описывает окружность с диаметром MN, где M(2; 1) и N(4; -3)?

Для того чтобы найти уравнение окружности с данным диаметром, мы можем использовать формулу окружности, которая имеет вид:

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\]

где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус.

Для начала, нам нужно найти координаты центра окружности. Чтобы это сделать, мы можем найти среднее значение координат x и y для точек M и N.

Координаты x:
\(x_M = 2\),
\(x_N = 4\)

Среднее значение координаты x:
\(x_c = \frac{{x_M + x_N}}{2} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\)

Координаты y:
\(y_M = 1\),
\(y_N = -3\)

Среднее значение координаты y:
\(y_c = \frac{{y_M + y_N}}{2} = \frac{{1 + (-3)}}{2} = -1\)

Теперь, когда у нас есть координаты центра окружности (3, -1), осталось найти радиус. Радиус можно найти как половину длины диаметра.

Длина диаметра (MN) можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек M и N соответственно.

Длина диаметра:
\[d = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Так как радиус - это половина длины диаметра, то радиус будет:
\[r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}\]

И наконец, подставляем найденные значения в формулу окружности:
\[(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = (\sqrt{5})^2\]

Таким образом, уравнение, описывающее окружность с диаметром MN и центром M(2; 1) и N(4; -3) имеет вид:
\[(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 5\]