Какое уравнение описывает касательную к параболе y=x^2+6x-5 в точке x0=4?

Хорошо, чтобы найти уравнение касательной к данной параболе в точке \( x_0 = 4 \), мы должны использовать производную нашей функции и величину \( x_0 \).

Сначала найдем производную функции \( y = x^2 + 6x - 5 \). Чтобы найти производную, мы должны применить правило дифференцирования для каждого слагаемого:

\[ y"(x) = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(x^2 + 6x - 5) = 2x + 6. \]

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент касательной к параболе в точке \( x = x_0 = 4 \), мы подставим значение \( x = 4 \) в нашу производную:

\[ y"(4) = 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14. \]

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \( x = 4 \) составляет 14.

Теперь нам нужно найти значение \( y \) в точке \( x = 4 \), чтобы получить точку, через которую проходит касательная. Для этого мы подставим значение \( x = 4 \) в исходное уравнение параболы:

\[ y = (4)^2 + 6(4) - 5 = 16 + 24 - 5 = 35. \]

Таким образом, координаты точки на параболе, через которую проходит касательная, равны \( (4, 35) \).

Теперь, используя найденные значения углового коэффициента и точки, мы можем записать уравнение касательной в точке \( x = 4 \) в виде уравнения прямой \( y = mx + c \). Подставляя значения, получим:

\[ y = 14x + c. \]

Теперь мы можем подставить координаты точки \( (4, 35) \) и решить уравнение для определения константы \( c \):

\[ 35 = 14(4) + c \Rightarrow 35 = 56 + c \Rightarrow c = 35 - 56 = -21. \]

Таким образом, наше уравнение касательной будет иметь вид:

\[ y = 14x - 21. \]

Это и есть уравнение касательной к параболе \( y = x^2 + 6x - 5 \) в точке \( x = 4 \).