Какое уравнение окружности проходит через точки (-8; 3) и (2; 7), если центр окружности находится на прямой x+4y+16=0?

Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через две заданные точки и имеющей центр на заданной прямой, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите координаты центра окружности, зная, что он лежит на заданной прямой.
2. Найдите радиус окружности, используя расстояние между центром окружности и любой из заданных точек.
3. Напишите уравнение окружности, используя найденные координаты центра и радиус.

Шаг 1: Найдите координаты центра окружности, лежащего на прямой x+4y+16=0.

Чтобы найти координаты центра окружности, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности. Это можно сделать следующим образом:

Сначала перепишем уравнение прямой в стандартной форме y = mx + c. Для этого выразим x через y:

x = -4y - 16.

Теперь имеем систему уравнений:

\[
\begin{align*}
x &= -4y - 16 \\
(x - a)^2 + (y - b)^2 &= r^2,
\end{align*}
\]

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Шаг 2: Найдите радиус окружности, используя расстояние между центром окружности и одной из заданных точек.

Используем формулу для расстояния между двумя точками:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух заданных точек.

Для нашей задачи можно выбрать любую из заданных точек (-8, 3) и (2, 7) в качестве одной точки, а координаты центра окружности (a, b) - в качестве другой точки.

Пусть (-8, 3) будет первой точкой, а координаты центра окружности (a, b) - второй точкой. Тогда расстояние d между ними можно записать следующим образом:

d = √((-8 - a)^2 + (3 - b)^2).

Это расстояние также является радиусом окружности.

Шаг 3: Напишите уравнение окружности, используя найденные координаты центра и радиус.

Теперь, когда у нас есть координаты центра окружности (a, b) и радиус, мы можем записать уравнение окружности в виде:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.

Подставляя значения, найденные на втором шаге, получим окончательное уравнение окружности.

Применяя эти шаги к данной задаче, вы получите искомое уравнение окружности.