Какое уравнение нужно решить, если сумма квадрата выражений (x-4) и (x+9) равна квадрату выражения

Давайте начнем с выражения, которое дано в условии. У нас есть сумма квадрата выражений \((x-4)\) и \((x+9)\), и она равна квадрату выражения. Давайте представим данное выражение в виде уравнения.

Пусть \((x-4)^2 + (x+9)^2 = (x+a)^2\) - наше уравнение, где \(a\) - некоторое число, которое нам нужно найти.

Давайте пошагово решим это уравнение:

1. Раскроем и упростим выражения: \((x-4)^2 + (x+9)^2 = (x+a)^2\)
\[(x^2 - 8x + 16) + (x^2 + 18x + 81) = (x^2 + 2ax + a^2)\]

2. Сложим подобные члены:
\(x^2 - 8x + x^2 + 18x = x^2 + 2ax + a^2 - 16 - 81\)
\(2x^2 + 10x = x^2 + 2ax + a^2 - 97\)

3. Перенесем все члены влево и упорядочим их:
\(2x^2 + 10x - x^2 - 2ax - a^2 + 97 = 0\)
\(x^2 + (10 - 2a)x + (-a^2 + 97) = 0\)

4. Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Мы хотим, чтобы сумма квадратов была равна квадрату, поэтому у нас должно быть \(a = 1\), \(b = 10-2a\) и \(c = -a^2 + 97\).
Таким образом, \(a = 1\), \(b = 10 - 2 \cdot 1 = 10 - 2 = 8\) и \(c = -1^2 + 97 = -1 + 97 = 96\).

Итак, у нас есть следующее уравнение:
\(x^2 + 8x + 96 = 0\)

Для решения этого квадратного уравнения, можно использовать формулу дискриминанта:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 8\) и \(c = 96\), поэтому подставляем значения в формулу:
\(x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96}}{2 \cdot 1}\)
\(x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 384}}{2}\)
\(x = \frac{-8 \pm \sqrt{-320}}{2}\)

Здесь мы видим, что подкоренное выражение отрицательное (\(-320\)), что означает, что уравнение не имеет рациональных корней в области вещественных чисел.

Таким образом, решение уравнения \(x^2 + 8x + 96 = 0\) будет комплексными числами. Комплексные корни могут быть записаны в виде \(x = \frac{-8 \pm \sqrt{-320}}{2}\), где \(\sqrt{-320}\) обозначает комплексное число.

Вот подробное решение данной задачи. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать!