Какое уравнение можно составить для касательной и нормали к кривой y=2x^3 в точке x=-1?

Чтобы составить уравнение для касательной и нормали к кривой \(y=2x^3\) в точке \(x=-1\), мы сначала найдем значение \(y\) в этой точке, а затем рассчитаем производную.

1. Найдем значение \(y\) в точке \(x=-1\):
Подставим \(x=-1\) в уравнение кривой:
\[y=2(-1)^3 = 2(-1) = -2.\]
Таким образом, координаты точки, в которой мы ищем касательную и нормаль, равны \((-1, -2)\).

2. Рассчитаем производную \(y\) по \(x\) для данной кривой:
Для этого возьмем производную от \(y=2x^3\):
\[\frac{dy}{dx} = 6x^2.\]

3. Найдем значение производной в точке \(x=-1\):
Подставим \(x=-1\) в формулу производной:
\[\frac{dy}{dx} = 6(-1)^2 = 6.\]

Теперь у нас есть значение производной в точке \((-1, -2)\). Мы можем использовать это значение, чтобы составить уравнения для касательной и нормали.

Уравнение касательной:
Используем точку \((-1, -2)\) и наклон \(m\) касательной, который равен значению производной в этой точке, т.е. \(m=6\). Используем формулу уравнения касательной:
\[y-y_1 = m(x - x_1),\]
где \((x_1, y_1)\) - координаты точки, а \(m\) - наклон.
Подставим значения:
\[y - (-2) = 6(x - (-1)).\]
Упростим:
\[y + 2 = 6(x + 1).\]
Теперь можем переписать это уравнение в более привычном виде:
\[y = 6x + 4.\]
Таким образом, уравнение касательной к кривой \(y = 2x^3\) в точке \((-1, -2)\) будет \(y = 6x + 4\).

Уравнение нормали:
Наклон нормали \(m_{\text{норм}}\) является отрицательным обратным значением наклона касательной \(m\). То есть \(m_{\text{норм}} = -\frac{1}{m}\).
Подставим значение \(m = 6\) в формулу:
\[m_{\text{норм}} = -\frac{1}{6}.\]
Снова используем точку \((-1, -2)\) и новый наклон \(m_{\text{норм}}\) в уравнении нормали:
\[y - (-2) = m_{\text{норм}}(x - (-1)).\]
Подставим значения и упростим:
\[y + 2 = -\frac{1}{6}(x + 1).\]
Перепишем уравнение в более удобной форме:
\[y = -\frac{1}{6}x - \frac{8}{6}.\]
Таким образом, уравнение нормали к кривой \(y = 2x^3\) в точке \((-1, -2)\) будет \(y = -\frac{1}{6}x - \frac{8}{6}\).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять процесс получения уравнений для касательной и нормали к данной кривой в заданной точке. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!