Какое скалярное произведение имеют векторы ВА и ВС, если на рисунке треугольник ABC является равнобедренным

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся знания о скалярном произведении и свойствах равнобедренных треугольников.

Сначала определим векторы ВА и ВС. Вектор ВА будет направлен от точки В к точке А, а вектор ВС - от точки В к точке С.

Так как треугольник ABC является равнобедренным с основанием АС, то это означает, что сторона BC равна стороне АС. Значит, длина стороны BC равна 4.

Теперь воспользуемся свойствами тригонометрии, чтобы определить длину стороны АС. У нас известно, что ∠A = 67,5°. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA. Также сумма углов треугольника равна 180°. Значит, ∠B = (180° - ∠A) / 2 = (180° - 67,5°) / 2 = 112,5°.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для вычисления длины стороны АС. Для этого воспользуемся формулой cos(∠B). Пусть длина стороны АС равна х. Тогда, применяя формулу косинуса в треугольнике BAC, мы получаем:

cos(112,5°) = х / 4

Теперь найдём значение cos(112,5°) с помощью калькулятора или таблиц тригонометрических значений. Получим:

cos(112,5°) ≈ -0,9239

Подставляем это значение в уравнение и находим х:

-0,9239 = х / 4

Умножаем обе части уравнения на 4:

-0,9239 * 4 = х

х ≈ -3,6956

Теперь, когда мы нашли длины сторон ВА и ВС, мы можем найти скалярное произведение этих двух векторов.

Скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой: AB * AC = |AB| * |AC| * cos(θ), где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC, а cos(θ) - косинус угла между этими векторами.

Длина вектора ВА равна длине стороны BC, то есть 4. Длина вектора ВС равна длине стороны АС, то есть приблизительно -3,6956. Угол между этими векторами - угол ∠BAC, равный 67,5°.

Теперь подставим все значения в формулу скалярного произведения:

AB * AC = 4 * (-3,6956) * cos(67,5°)

С помощью калькулятора или таблиц косинусов находим значение cos(67,5°):

cos(67,5°) ≈ 0,3827

Подставляем это значение в формулу и вычисляем:

AB * AC ≈ 4 * (-3,6956) * 0,3827 ≈ -5,635

Ответ: Скалярное произведение векторов ВА и ВС составляет примерно -5,635.