Какое расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей, если

Чтобы найти расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей, мы можем использовать тригонометрию и геометрию.

Давайте начнем с построения схемы. У нас есть отрезок, плоскости, и мы хотим найти расстояние между основаниями перпендикуляров:

\[
\begin{array}{c}
\overline{AB} \\
| \\
P \\
| \\
| \\
l \\
| \\
| \\
\overline{CD} \\
\end{array}
\]

Где A и B - концы отрезка, P - точка пересечения плоскостей, и C и D - основания перпендикуляров.

Теперь, нам нужно использовать информацию, которую нам дана в задаче. Мы знаем, что длина отрезка AB составляет 10 см, а углы между отрезком и плоскостями равны 45 и 30 градусов.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать тригонометрические функции и принцип соотношения сторон в прямоугольных треугольниках.

Для начала, давайте рассмотрим треугольник APC:

\[
\begin{array}{c}
\overline{AP} \\
| \\
P \\
| \\
| \\
l \\
| \\
| \\
\overline{AC} \\
\end{array}
\]

Этот треугольник прямоугольный, так как основание перпендикуляра \(AC\) является высотой, опущенной из вершины \(A\).

Мы знаем угол \(APC\) равен 45 градусам. Так как синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, мы можем использовать синус, чтобы найти длину катета \(AC\). В данном случае мы знаем, что длина гипотенузы \(AP\) равна 10 см:

\[
\sin 45^\circ = \frac{{AC}}{{AP}}
\]

Подставив известные значения, мы получаем:

\[
\frac{{AC}}{{10}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}
\]

Умножив обе стороны уравнения на 10, мы получаем:

\[
AC = 10 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = 5\sqrt{2} \, \text{см}
\]

Теперь, давайте рассмотрим треугольник BPD:

\[
\begin{array}{c}
\overline{DP} \\
| \\
P \\
| \\
| \\
l \\
| \\
| \\
\overline{BD} \\
\end{array}
\]

Опять же, этот треугольник прямоугольный, так как основание перпендикуляра \(BD\) является высотой, опущенной из вершины \(B\).

Мы знаем, что угол \(BPD\) равен 30 градусам. Здесь мы можем использовать тангенс, чтобы найти длину катета \(BD\). С теоремой Пифагора мы также можем найти длину гипотенузы \(DP\), подставив \(AC\) и \(AP\) в качестве катетов:

\[
DP = \sqrt{AP^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, \text{см}
\]

\[
\tan 30^\circ = \frac{{BD}}{{DP}}
\]

Подставив известные значения:

\[
\frac{{BD}}{{5\sqrt{2}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}
\]

Умножив обе стороны уравнения на \(5\sqrt{2}\), получаем:

\[
BD = 5\sqrt{2} \cdot \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{5\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{5\sqrt{6}}}{{3}} \, \text{см}
\]

Наконец, чтобы найти расстояние между основаниями перпендикуляров \(CD\), мы просто складываем \(AC\) и \(BD\):

\[
CD = AC + BD = 5\sqrt{2} + \frac{{5\sqrt{6}}}{{3}} = \frac{{15\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}}{{3}} \, \text{см}
\]

Итак, расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей, составляет \(\frac{{15\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}}{{3}}\) см.