Какое распределение вероятностей у входного алфавита Px и выходного алфавита Py в двоичной системе связи, где каждый

Для понимания распределения вероятностей в данной задаче, давайте рассмотрим входной алфавит Px и выходной алфавит Py в двоичной системе связи.

Входной алфавит Px может состоять из двух символов: 0 и 1. Так как каждый символ изменяет своё значение с вероятностью (1 - q) под воздействием шума, то вероятность каждого символа в Px будет следующей:

P(0) = 1 - q
P(1) = 1 - q

Выходной алфавит Py также будет состоять из двух символов: 0 и 1. Чтобы определить распределение вероятностей для каждого символа в Py, мы должны учесть, что каждый символ входного алфавита может быть искажен и превратиться в любой символ выходного алфавита с равной вероятностью. То есть:

P(0|0) = P(0) - вероятность получить 0 на выходе, если на входе был 0
P(0|1) = P(1) - вероятность получить 0 на выходе, если на входе был 1
P(1|0) = P(0) - вероятность получить 1 на выходе, если на входе был 0
P(1|1) = P(1) - вероятность получить 1 на выходе, если на входе был 1

Учитывая, что искажения происходят независимо друг от друга, вероятность получить определенный символ на выходе равна сумме вероятностей искажения от каждого символа входного алфавита:

P(0) = P(0|0) * P(0) + P(0|1) * P(1)
P(1) = P(1|0) * P(0) + P(1|1) * P(1)

Теперь мы можем выразить вероятности P(0) и P(1) через P(0|0), P(0|1), P(1|0) и P(1|1):

P(0) = (1 - q) * P(0) + (1 - q) * P(1)
P(1) = (1 - q) * P(0) + (1 - q) * P(1)

Раскрыв скобки, получим:

P(0) = (1 - q) * P(0) + (1 - q) * P(1)
P(1) = (1 - q) * P(0) + (1 - q) * P(1)

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений.

Выразим, например, P(0) через P(1):

P(0) = (1 - q) * P(0) + (1 - q) * P(1)

Перенесем все члены, содержащие P(0), в левую часть уравнения:

P(0) - (1 - q) * P(0) = (1 - q) * P(1)

Раскроем скобку в левой части:

P(0) - P(0) + q * P(0) = (1 - q) * P(1)

Упростим:

q * P(0) = (1 - q) * P(1)

Теперь выразим P(0) через P(1):

P(0) = (1 - q) * P(1) / q

Точно также можно выразить P(1) через P(0):

P(1) = (1 - q) * P(0) / q

Таким образом, мы получили распределение вероятностей входного алфавита Px и выходного алфавита Py в двоичной системе связи, где каждый символ изменяет своё значение с вероятностью (1- q) под воздействием шума.