Какое распределение случайной величины представляет число этапов, которые студенты данного престижного вуза пройдут

Для решения этой задачи нам необходимо знать вероятности успеха на каждом этапе собеседования и выяснить, какое распределение представляет число успешно пройденных этапов.
Пусть \(X\) - число успешных этапов, которые студенты вуза пройдут при собеседовании. Мы можем предположить, что \(X\) имеет биномиальное распределение, так как каждый этап собеседования имеет только два возможных исхода - успех или неудача.
Пусть \(p\) - вероятность успеха на одном этапе собеседования, которую мы предполагаем постоянной от студента к студенту. Тогда, вероятность неудачи на одном этапе будет равна \(1 - p\).
Теперь посмотрим, сколько всего этапов в собеседовании. Пусть всего \(n\) этапов. Вероятность, что студент успешно пройдет один или более этапов, это вероятность события \(X \geq 1\).
Мы можем вычислить эту вероятность, используя комбинаторику и вероятности успеха/неудачи. Выражение для этой вероятности будет следующим:
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n\]
Таким образом, распределение случайной величины \(X\) представляет собой биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\), где \(n\) - количество этапов собеседования, а \(p\) - вероятность успеха на каждом этапе.
Отдельные вероятности успеха на каждом этапе можно вычислить, используя биномиальное распределение. Для этого нам понадобится формула Бернулли:
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
где \(\binom{n}{k}\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), \(p^k\) - вероятность успеха \(k\) раз, \((1-p)^{n-k}\) - вероятность неудачи \(n-k\) раз.
Таким образом, мы можем использовать эти формулы для вычисления вероятности успешного прохождения каждого этапа и вероятности успешной сдачи определенного числа этапов. Это даст нам детальное представление о процессе собеседования и вероятности успеха на каждом этапе для студентов данного престижного вуза.