Какое отношение существует между квадратами периодов обращения двух планет вокруг Солнца, если оно равно 8? Каково

Для начала, давайте рассмотрим закон Кеплера о периодах движения планет. Он гласит, что квадраты периодов обращения двух планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит. Это можно записать следующим образом:

\[\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3,\]

где \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения двух планет, а \(a_1\) и \(a_2\) - соответствующие большие полуоси их орбит.

В данной задаче нам известно, что отношение квадратов периодов обращения двух планет равно 8. Пусть \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения двух планет, такие что:

\[\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = 8.\]

Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы найти отношение больших полуосей их орбит. Заметим, что в формуле Кеплера отношение квадратов периодов равно отношению кубов больших полуосей, поэтому мы можем записать:

\[\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2.\]

Мы уже знаем, что \(\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = 8\), поэтому подставим это значение в уравнение:

\[\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 = 8.\]

Теперь нам нужно найти отношение больших полуосей. Чтобы найти это отношение, возведём обе части уравнения в степень \(\frac{1}{3}\):

\[\left(\frac{a_1}{a_2}\right) = \sqrt[3]{8}.\]

Известно, что \(\sqrt[3]{8} = 2\), поэтому получаем:

\[\frac{a_1}{a_2} = 2.\]

Таким образом, отношение больших полуосей орбит двух планет равно 2.

Основной вывод из этой задачи заключается в том, что квадраты периодов обращения планет равны кубам их больших полуосей. Это имеет важное значение для понимания движения планет.