Какое отношение имеют радиусы орбит двух искусственных спутников Земли, у которых орбитальные периоды различаются

Чтобы найти отношение между радиусами орбит двух искусственных спутников Земли с различными орбитальными периодами, нам потребуется использовать некоторые физические законы и формулы. Давайте начнем с того, что вспомним два важных закона, связанных с орбитальными движениями.

Первый закон Кеплера, известный как закон эллипсов, гласит, что траектория планет и спутников является эллиптической с Солнцем или планетой в одном из фокусов эллипса.

Второй закон Кеплера, известный как закон равных площадей, утверждает, что радиус-вектор, соединяющий Солнце (или планету) с планетой (или спутником), за равные промежутки времени описывает равные площади в плоскости орбиты.

Теперь, что касается нашей задачи. Пусть $R_1$ и $R_2$ - радиусы орбит первого и второго искусственных спутников соответственно, а $T_1$ и $T_2$ - орбитальные периоды этих спутников. У нас дано, что $T_2$ в 8 раз больше, чем $T_1$. Выражая это формулами:

$$T_2=8T_1$$

Теперь давайте воспользуемся одним из законов Кеплера и формулой для вычисления орбитального периода планеты или спутника:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$$

Где $T$ - орбитальный период, $a$ - большая полуось орбиты, $G$ - гравитационная постоянная и $M$ - масса планеты (в нашем случае - Земли).

Поскольку мы рассматриваем два спутника, предполагается, что масса Земли остается постоянной, и мы можем сократить гравитационную постоянную и массу планеты из нашей формулы для орбитального периода:

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{\sqrt{\frac{a_2^3}{M}}}{\sqrt{\frac{a_1^3}{M}}}$$

Сокращая массу планеты и упрощая формулу, мы получим:

$$\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{a_2^3}{a_1^3}}$$

Как известно, $\frac{T_2}{T_1}=8$, поэтому мы можем заменить эту сложную дробь числом 8:

$$8=\sqrt{\frac{a_2^3}{a_1^3}}$$

Чтобы избавиться от корня, возведем уравнение в квадрат:

$$64=\frac{a_2^3}{a_1^3}$$

Упрощая это уравнение, мы получаем:

$$\frac{a_2^3}{a_1^3}=64$$

Взяв кубический корень от обеих частей уравнения, мы получим:

$$\frac{a_2}{a_1}=4$$

Значит, отношение радиусов орбит двух искусственных спутников Земли равно 4.

Таким образом, радиус второй орбиты в четыре раза больше, чем радиус первой орбиты.