Какое отношение имеют радиусы орбит двух искусственных спутников Земли, у которых орбитальные периоды различаются

Чтобы найти отношение между радиусами орбит двух искусственных спутников Земли с различными орбитальными периодами, нам потребуется использовать некоторые физические законы и формулы. Давайте начнем с того, что вспомним два важных закона, связанных с орбитальными движениями.

Первый закон Кеплера, известный как закон эллипсов, гласит, что траектория планет и спутников является эллиптической с Солнцем или планетой в одном из фокусов эллипса.

Второй закон Кеплера, известный как закон равных площадей, утверждает, что радиус-вектор, соединяющий Солнце (или планету) с планетой (или спутником), за равные промежутки времени описывает равные площади в плоскости орбиты.

Теперь, что касается нашей задачи. Пусть \(R_1\) и \(R_2\) - радиусы орбит первого и второго искусственных спутников соответственно, а \(T_1\) и \(T_2\) - орбитальные периоды этих спутников. У нас дано, что \(T_2\) в 8 раз больше, чем \(T_1\). Выражая это формулами:

\[T_2 = 8T_1\]

Теперь давайте воспользуемся одним из законов Кеплера и формулой для вычисления орбитального периода планеты или спутника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\]

Где \(T\) - орбитальный период, \(a\) - большая полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная и \(M\) - масса планеты (в нашем случае - Земли).

Поскольку мы рассматриваем два спутника, предполагается, что масса Земли остается постоянной, и мы можем сократить гравитационную постоянную и массу планеты из нашей формулы для орбитального периода:

\[\frac{T_2}{T_1} = \frac{\sqrt{\frac{a_2^3}{M}}}{\sqrt{\frac{a_1^3}{M}}}\]

Сокращая массу планеты и упрощая формулу, мы получим:

\[\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{a_2^3}{a_1^3}}\]

Как известно, \(\frac{T_2}{T_1} = 8\), поэтому мы можем заменить эту сложную дробь числом 8:

\[8 = \sqrt{\frac{a_2^3}{a_1^3}}\]

Чтобы избавиться от корня, возведем уравнение в квадрат:

\[64 = \frac{a_2^3}{a_1^3}\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\[\frac{a_2^3}{a_1^3} = 64\]

Взяв кубический корень от обеих частей уравнения, мы получим:

\[\frac{a_2}{a_1} = 4\]

Значит, отношение радиусов орбит двух искусственных спутников Земли равно 4.

Таким образом, радиус второй орбиты в четыре раза больше, чем радиус первой орбиты.