Какое отношение имеют основания трапеции, если средняя линия делит ее диагонали на три части, при этом крайняя часть

Давайте посмотрим на данную задачу. У нас есть трапеция и средняя линия, которая делит ее диагонали на три равные части. Допустим, что основания трапеции обозначены как \( a \) и \( b \), где \( a \) - это крайнее основание, а \( b \) - среднее основание.

Также в условии сказано, что крайняя часть диагонали в 4 раза меньше средней части. Мы можем это выразить в виде отношения:
\(\frac{a}{4}\) = \(b\).

Теперь нам нужно найти отношение между основаниями. Для этого давайте вспомним свойство трапеции, что сумма длин оснований, умноженная на высоту, равна площади трапеции. В данном случае, высотой является средняя линия, которая делит диагонали на три равные части.

Пусть длина диагонали, на которую попадает средняя часть, будет обозначена как \( c \). Тогда длина крайней части диагонали будет равна \(\frac{c}{4}\). Но так как средняя линия делит диагонали на три равные части, то длина всей диагонали равна \(3c\).

Теперь мы можем записать формулу для площади трапеции:
\(\frac{(a+b) \cdot c}{2}\).

Зная, что \( c = 3 \cdot \frac{b}{3} + \frac{a}{4} \), мы можем записать уравнение для площади:
\(\frac{(a + b) \cdot (3 \cdot \frac{b}{3} + \frac{a}{4})}{2}\).

Теперь найдем отношение оснований. Для этого решим уравнение относительно \( \frac{a}{b} \):
\(\frac{(a + b) \cdot (3 \cdot \frac{b}{3} + \frac{a}{4})}{2} = \frac{(3b + \frac{a}{4}) \cdot (a + b)}{2}\).

Упростим это уравнение:
\(4(a + b)(3b + \frac{a}{4}) = 2(a + b)(3b + \frac{a}{4})\).

Как мы видим, (a + b) и (3b + \frac{a}{4}) есть в обоих частях уравнения, поэтому их можно сократить:
\(4 = 2\).

Полученное уравнение неверное, что означает, что у нас есть противоречие. Из этого следует, что данная трапеция не может удовлетворять условию задачи.

Таким образом, мы приходим к выводу, что отношение оснований в данной трапеции не может быть определено.