Какое натуральное число делит и 5n+1, и 7n+2 и больше 1? найти

Для решения данной задачи нам необходимо найти натуральное число, которое делит и $5n+1$, и $7n+2$ и при этом больше 1.

Давайте начнем, рассмотрев выражение $5n+1$. Допустим, что некоторое натуральное число $m$ делит $5n+1$. В таком случае, существует такое натуральное число $k$, что $5n+1=mk$.

Также предположим, что это же число $m$ делит и $7n+2$, то есть $7n+2=mj$ для некоторого натурального числа $j$.

Мы хотим найти такое число $m$, которое удовлетворяет обоим уравнениям и при этом больше 1.

Теперь распишем уравнения $5n+1=mk$ и $7n+2=mj$ более подробно:

$5n+1=mk$ можно записать в виде $mk-5n=1$ (1)

$7n+2=mj$ можно записать в виде $mj-7n=2$ (2)

Заметим, что оба уравнения содержат переменные $m$ и $n$, поэтому мы можем попытаться решить систему уравнений (1) и (2).

Применим метод разностей для решения этой системы. Умножим уравнение (1) на 7 и уравнение (2) на 5:

$7(mk-5n)=7$

$5(mj-7n)=10$

Получим:

$7mk-35n=7$ (3)

$5mj-35n=10$ (4)

Теперь вычтем уравнение (4) из уравнения (3):

$7mk-35n-(5mj-35n)=7-10$

$7mk-5mj=-3$ (5)

Делаем вывод, что уравнение (5) теперь является необходимым условием для существования такого натурального числа $m$, которое делит и $5n+1$, и $7n+2$.

Решим это уравнение относительно $m$. Вынесем общий множитель $m$:

$m(7k-5j)=-3$

Так как мы ищем натуральное число, то заметим, что если мы возьмем $m=3$, то второй множитель станет равным $(7k-5j)$, и мы сможем найти решение для $k$ и $j$.

Следовательно, число 3 является натуральным делителем и $5n+1$, и $7n+2$ для любого натурального числа $n$.

Надеюсь, данное объяснение поможет понять, как мы пришли к этому выводу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!