Какое натуральное число делит и 5n+1, и 7n+2 и больше 1? найти

Для решения данной задачи нам необходимо найти натуральное число, которое делит и \(5n + 1\), и \(7n + 2\) и при этом больше 1.

Давайте начнем, рассмотрев выражение \(5n + 1\). Допустим, что некоторое натуральное число \(m\) делит \(5n + 1\). В таком случае, существует такое натуральное число \(k\), что \(5n + 1 = mk\).

Также предположим, что это же число \(m\) делит и \(7n + 2\), то есть \(7n + 2 = mj\) для некоторого натурального числа \(j\).

Мы хотим найти такое число \(m\), которое удовлетворяет обоим уравнениям и при этом больше 1.

Теперь распишем уравнения \(5n + 1 = mk\) и \(7n + 2 = mj\) более подробно:

\(5n + 1 = mk\) можно записать в виде \(mk - 5n = 1\) (1)

\(7n + 2 = mj\) можно записать в виде \(mj - 7n = 2\) (2)

Заметим, что оба уравнения содержат переменные \(m\) и \(n\), поэтому мы можем попытаться решить систему уравнений (1) и (2).

Применим метод разностей для решения этой системы. Умножим уравнение (1) на 7 и уравнение (2) на 5:

\(7(mk - 5n) = 7\)

\(5(mj - 7n) = 10\)

Получим:

\(7mk - 35n = 7\) (3)

\(5mj - 35n = 10\) (4)

Теперь вычтем уравнение (4) из уравнения (3):

\(7mk - 35n - (5mj - 35n) = 7 - 10\)

\(7mk - 5mj = -3\) (5)

Делаем вывод, что уравнение (5) теперь является необходимым условием для существования такого натурального числа \(m\), которое делит и \(5n + 1\), и \(7n + 2\).

Решим это уравнение относительно \(m\). Вынесем общий множитель \(m\):

\(m(7k - 5j) = -3\)

Так как мы ищем натуральное число, то заметим, что если мы возьмем \(m = 3\), то второй множитель станет равным \((7k - 5j)\), и мы сможем найти решение для \(k\) и \(j\).

Следовательно, число 3 является натуральным делителем и \(5n + 1\), и \(7n + 2\) для любого натурального числа \(n\).

Надеюсь, данное объяснение поможет понять, как мы пришли к этому выводу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!