Какое наименьшее целое положительное значение X делает возможной запись значения выражения 3435 + 73 - 1 - X в системе

Хорошо, начнем с решения первой задачи.

Для нахождения наименьшего целого положительного значения \(X\), которое делает возможной запись значения выражения \(3435 + 73 - 1 - X\) в системе счисления с основанием 7, при которой в записи содержится 12 цифр 6, мы должны учесть два момента: первое, что число \(X\) должно быть целым положительным, и второе, что значение выражения должно быть представлено в системе счисления с основанием 7 и содержать 12 цифр 6.

Давайте начнем с вычисления значения выражения \(3435 + 73 - 1\) в десятичной системе счисления:

\[3435 + 73 - 1 = 3507\]

Теперь нам нужно представить значение 3507 в системе счисления с основанием 7. Для этого мы будем делить это число на 7 и записывать остатки от деления, начиная с самого последнего остатка. Эти остатки образуют цифры в новой системе счисления.

Делаем деление:

\[
\begin{align*}
3507 \div 7 &= 501 &\text{остаток 0}\\
501 \div 7 &= 71 &\text{остаток 4}\\
71 \div 7 &= 10 &\text{остаток 1}\\
10 \div 7 &= 1 &\text{остаток 3}\\
1 \div 7 &= 0 &\text{остаток 1}\\
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть последовательность остатков: 1, 3, 1, 4, 0. Переведем эти остатки в цифры в новой системе счисления. 0 будет обозначаться как 0, 1 - как 1, 2 - как 2 и так далее:

Цифры в системе счисления с основанием 7 соответствуют остаткам: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Теперь нам нужно определить, какое значение \(X\) даст нам 12 цифр 6 в записи выражения.

Из расчета, мы имеем 5 цифр в записи выражения без учета значения \(X\). Значит, нам нужно, чтобы \(X\) также было представлено 7-й системе счисления с использованием 7 цифр. Предположим, что все эти цифры - 6.

Таким образом, чтобы найти значение \(X\), достаточное для получения 12 цифр 6 в записи значения выражения, мы можем начать с некоторого числа, оканчивающегося на 666 в системе с основанием 7, и посмотреть, какое наименьшее положительное целое число \(X\) будет соответствовать этому условию.

Начнем с числа 666 в системе счисления с основанием 7:

\[
6 \cdot 7^2 + 6 \cdot 7^1 + 6 \cdot 7^0 = 342
\]

Теперь мы должны увеличить это число на некоторое положительное целое количество раз, чтобы получить 12 цифр 6 в записи выражения. Для этого увеличим последнюю цифру на 1 (которая сейчас равна 6):

\[
6 \cdot 7^2 + 6 \cdot 7^1 + 6 \cdot 7^0 + 1 = 343
\]

Таким образом, наименьшее положительное значение, которое делает возможной запись значения выражения \(3435 + 73 - 1 - X\) в системе счисления с основанием 7, при которой в записи содержится 12 цифр 6, равно \(X = 343\).

Приступим к второй задаче.

Чтобы найти наибольшее натуральное число \(A\), при котором формула \(\text{ДЕЛ}(70, A) \& (\text{ДЕЛ}(x, 28) \rightarrow (\neg\text{ДЕЛ}(x, A) \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x, 21)))\) верна для любого натурального числа \(x\), мы должны пошагово рассмотреть различные значения \(A\) и проверить, выполняется ли эта формула.

Давайте начнем с рассмотрения случая, когда \(A = 1\).

Выполняем подстановку \(A = 1\) в формулу:

\(\text{ДЕЛ}(70, 1) \& (\text{ДЕЛ}(x, 28) \rightarrow (\neg\text{ДЕЛ}(x, 1) \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x, 21)))\)

Упрощаем эту формулу:

\(\text{ДА} \& (\text{ДЕЛ}(x, 28) \rightarrow (\neg\text{ДЕЛ}(x, 1) \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x, 21)))\)

Таким образом, для \(A = 1\) формула становится следующей: \(\text{ДА} \& (\text{ДЕЛ}(x, 28) \rightarrow (\text{ЛЖ} \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x, 21)))\)

Заметим, что \(\text{ЛЖ} \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x, 21)\) всегда истинно для любого значения \(x\), поскольку ложное предположение может привести к любому выводу. То есть, вне зависимости от значения \(x\), \(\text{ЛЖ} \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x, 21)\) будет всегда истинно.

Таким образом, формула при \(A = 1\) верна для любого \(x\).

Теперь давайте рассмотрим случай, когда \(A = 2\).

Выполняем подстановку \(A = 2\) в формулу:

\(\text{ДЕЛ}(70, 2) \& (\text{ДЕЛ}(x, 28) \rightarrow (\neg\text{ДЕЛ}(x, 2) \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x, 21)))\)

Упрощаем эту формулу:

\(\text{ДА} \& (\text{ДЕЛ}(x, 28) \rightarrow (\text{ЛОЖЬ} \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x, 21)))\)

Так как \(\text{ЛОЖЬ} \rightarrow \neg\text{ДЕЛ}(x, 21)\) всегда ложно для любого значения \(x\), формула при \(A = 2\) уже не является всегда истинной.

Теперь продолжим этот процесс для различных значений \(A\) и проверим, при каком наибольшем значении формула будет всегда истинной.