Какое наибольшее целое число может быть корнем уравнения a²x² + ax + 1 - 21a², при условии, что оба корня уравнения

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулой дискриминанта. Дискриминант для квадратного уравнения вида $a{x}^2+bx+c$ вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$. В нашем случае, у нас есть уравнение $a^2{x}^2+ax+1-21a^2$, поэтому $a=a^2$, $b=a$, $c=1-21a^2$.

Поскольку оба корня уравнения являются целыми числами и меньше нуля, наша задача заключается в поиске максимально возможного целого значения для переменной $a$, при котором дискриминант будет положительным.

Исходя из формулы дискриминанта, нам нужно решить неравенство $D>0$. Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в формулу дискриминанта:

$$D=a^2-4(a^2)(1-21a^2)$$

Раскроем скобки:

$$D=a^2-4(a^2-21a^4)$$

$$D=a^2-4a^2+84a^4$$

$$D=84a^4-3a^2$$

Теперь решим неравенство $D>0$:

$$84a^4-3a^2>0$$

Вынесем общий множитель:

$$a^2(84a^2-3)>0$$

Так как нам нужно найти максимально возможное целое значение для $a$, мы можем провести анализ знаков данного уравнения методом интервалов. Для этого нужно решить неравенство $84a^2-3>0$ и найти интервалы, в которых это неравенство выполняется.

Решим уравнение $84a^2-3=0$:

$$a^2=\frac{3}{84}$$

$$a=\pm \sqrt{\frac{1}{28}}$$

Так как мы ищем целое значение для $a$, отбросим отрицательное значение и возьмем только положительное значение:

$$a=\sqrt{\frac{1}{28}}=\frac{1}{\sqrt{28}}=\frac{1}{\sqrt{4\cdot 7}}$$

$$a=\frac{1}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{2\cdot 7}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$

Теперь построим интервалы. Будем проверять значения $a$ в каждом интервале и определим знак выражения $84a^2-3$:

1) При $a<0$ значение $84a^2-3$ будет положительным, так как $84$ и $a^2$ положительные числа, а отрицательное значение $a$ не изменяет знак уравнения.

2) При $0<a<\frac{\sqrt{7}}{14}$ значение $84a^2-3$ будет отрицательным. Чтобы это понять, проверим значение выражения для $a=0$:

$$84(0{)}^2-3=-3<0$$

Мы знаем, что при увеличении значения $a$ значение $84a^2-3$ будет уменьшаться, потому что $84$ и $a^2$ положительные числа.

3) При $a>\frac{\sqrt{7}}{14}$ значение $84a^2-3$ снова становится положительным.

Таким образом, решением неравенства $84a^4-3a^2>0$ является интервал $0<a<\frac{\sqrt{7}}{14}$.

Итак, максимальное целое значение для переменной $a$ будет находиться в этом интервале. Чтобы найти это значение, мы можем округлить $\frac{\sqrt{7}}{14}$ до ближайшего меньшего целого числа.

$\frac{\sqrt{7}}{14}\approx \frac{2.65}{14}\approx 0.189$

Максимальное целое значение для $a$ будет $0$.

Таким образом, наибольшее целое число, которое может быть корнем данного уравнения при условии, что оба корня являются целыми числами и меньше нуля, равно $0$.