Какое наибольшее целое число может быть корнем уравнения a²x² + ax + 1 - 21a², при условии, что оба корня уравнения

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулой дискриминанта. Дискриминант для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае, у нас есть уравнение \(a^2x^2 + ax + 1 - 21a^2\), поэтому \(a = a^2\), \(b = a\), \(c = 1 - 21a^2\).

Поскольку оба корня уравнения являются целыми числами и меньше нуля, наша задача заключается в поиске максимально возможного целого значения для переменной \(a\), при котором дискриминант будет положительным.

Исходя из формулы дискриминанта, нам нужно решить неравенство \(D > 0\). Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу дискриминанта:

\[D = a^2 - 4(a^2)(1 - 21a^2)\]

Раскроем скобки:

\[D = a^2 - 4(a^2 - 21a^4)\]

\[D = a^2 - 4a^2 + 84a^4\]

\[D = 84a^4 - 3a^2\]

Теперь решим неравенство \(D > 0\):

\[84a^4 - 3a^2 > 0\]

Вынесем общий множитель:

\[a^2(84a^2 - 3) > 0\]

Так как нам нужно найти максимально возможное целое значение для \(a\), мы можем провести анализ знаков данного уравнения методом интервалов. Для этого нужно решить неравенство \(84a^2 - 3 > 0\) и найти интервалы, в которых это неравенство выполняется.

Решим уравнение \(84a^2 - 3 = 0\):

\[a^2 = \frac{3}{84}\]

\[a = \pm \sqrt{\frac{1}{28}}\]

Так как мы ищем целое значение для \(a\), отбросим отрицательное значение и возьмем только положительное значение:

\[a = \sqrt{\frac{1}{28}} = \frac{1}{\sqrt{28}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 7}}\]

\[a = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{\sqrt{7}}{14}\]

Теперь построим интервалы. Будем проверять значения \(a\) в каждом интервале и определим знак выражения \(84a^2 - 3\):

1) При \(a < 0\) значение \(84a^2 - 3\) будет положительным, так как \(84\) и \(a^2\) положительные числа, а отрицательное значение \(a\) не изменяет знак уравнения.

2) При \(0 < a < \frac{\sqrt{7}}{14}\) значение \(84a^2 - 3\) будет отрицательным. Чтобы это понять, проверим значение выражения для \(a = 0\):

\[84(0)^2 - 3 = -3 < 0\]

Мы знаем, что при увеличении значения \(a\) значение \(84a^2 - 3\) будет уменьшаться, потому что \(84\) и \(a^2\) положительные числа.

3) При \(a > \frac{\sqrt{7}}{14}\) значение \(84a^2 - 3\) снова становится положительным.

Таким образом, решением неравенства \(84a^4 - 3a^2 > 0\) является интервал \(0 < a < \frac{\sqrt{7}}{14}\).

Итак, максимальное целое значение для переменной \(a\) будет находиться в этом интервале. Чтобы найти это значение, мы можем округлить \(\frac{\sqrt{7}}{14}\) до ближайшего меньшего целого числа.

\(\frac{\sqrt{7}}{14} \approx \frac{2.65}{14} \approx 0.189\)

Максимальное целое значение для \(a\) будет \(0\).

Таким образом, наибольшее целое число, которое может быть корнем данного уравнения при условии, что оба корня являются целыми числами и меньше нуля, равно \(0\).