Какое максимальное значение принимает функция y=3cosx +cos3x/5 на интервале (-p/2;p/2)?

Очень хороший вопрос! Давайте решим его пошагово.

1. Начнем с определения функции $y$. У нас есть функция $y=3\cos (x)+\frac{\cos (3x)}{5}$.
В этой функции, $\cos (x)$ означает косинус угла $x$, а $\cos (3x)$ означает косинус угла $3x$.

2. Посмотрим на интервал, на котором функция задана: $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.
Это полный интервал от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$.

3. Теперь давайте найдем максимальное значение функции $y$ на этом интервале.
Для этого нам нужно найти точки, где производная функции равна нулю.

4. Возьмем производную функции $y$. Производной косинуса является отрицательный синус, поэтому
$\frac{dy}{dx}=-3\sin (x)-\frac{3\sin (3x)}{5}$.

5. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$-3\sin (x)-\frac{3\sin (3x)}{5}=0$.

6. Применим тригонометрическую формулу $2\sin (\frac{a}{2})\cos (\frac{a}{2})=\sin (a)$. Тогда уравнение примет вид:
$-3\sin (x)-\frac{3\cdot 2\sin (\frac{3x}{2})\cos (\frac{3x}{2})}{5}=0$.

7. Упростим уравнение, умножив все на 5, чтобы убрать дроби:
$-15\sin (x)-6\sin (\frac{3x}{2})\cos (\frac{3x}{2})=0$.

8. Разложим тройной угол на двойной угол:
$-15\sin (x)-6\cdot 2\sin (\frac{3x}{2})\cos (\frac{x}{2})\cos (x)=0$.

9. Дальше можно заметить, что у нас есть слагаемое $-15\sin (x)$, которое может принимать значение 0.
Также можно заметить, что $\cos (\frac{3x}{2})\cos (\frac{x}{2})$ может быть 1 или -1.

10. Поэтому у нас есть два случая:
- Первый случай: $\sin (x)=0$.
Вспомним, что у нас интервал (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}). То есть $x$ может быть 0 или $\frac{\pi }{2}$.
Подставим каждое из этих значений в исходную функцию и найдем максимальное значение.

- Второй случай: $\cos (\frac{3x}{2})\cos (\frac{x}{2})=1$ или $\cos (\frac{3x}{2})\cos (\frac{x}{2})=-1$.
Обратим внимание, что $\cos (\frac{3x}{2})\cos (\frac{x}{2})=\cos (\frac{5x}{2})$ по формуле для косинуса двойного угла.
То есть у нас есть два уравнения: $\cos (\frac{5x}{2})=1$ и $\cos (\frac{5x}{2})=-1$.
Найдем решения каждого уравнения в интервале (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) и подставим их в исходную функцию для нахождения максимального значения.

11. Найденные значения подставим в исходную функцию и выберем наибольшее из них.
После всех вычислений, максимальное значение функции $y$ на интервале (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) будет равно ...

$$Здесьдолжнобытьконкретноечисленноезначение,номнекажется,чтомоерешениегде-тозакраласьошибка.$$