Какое максимальное значение принимает функция y=3cosx +cos3x/5 на интервале (-p/2;p/2)?

Очень хороший вопрос! Давайте решим его пошагово.

1. Начнем с определения функции \(y\). У нас есть функция \(y = 3\cos(x) + \frac{\cos(3x)}{5}\).
В этой функции, \(\cos(x)\) означает косинус угла \(x\), а \(\cos(3x)\) означает косинус угла \(3x\).

2. Посмотрим на интервал, на котором функция задана: \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\).
Это полный интервал от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\).

3. Теперь давайте найдем максимальное значение функции \(y\) на этом интервале.
Для этого нам нужно найти точки, где производная функции равна нулю.

4. Возьмем производную функции \(y\). Производной косинуса является отрицательный синус, поэтому
\(\frac{dy}{dx} = -3\sin(x) - \frac{3\sin(3x)}{5}\).

5. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\(-3\sin(x) - \frac{3\sin(3x)}{5} = 0\).

6. Применим тригонометрическую формулу \(2\sin(\frac{a}{2})\cos(\frac{a}{2}) = \sin(a)\). Тогда уравнение примет вид:
\(-3\sin(x) - \frac{3\cdot 2\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2})}{5} = 0\).

7. Упростим уравнение, умножив все на 5, чтобы убрать дроби:
\(-15\sin(x) - 6\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2}) = 0\).

8. Разложим тройной угол на двойной угол:
\(-15\sin(x) - 6\cdot 2\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{x}{2})\cos(x) = 0\).

9. Дальше можно заметить, что у нас есть слагаемое \(-15\sin(x)\), которое может принимать значение 0.
Также можно заметить, что \(\cos(\frac{3x}{2})\cos(\frac{x}{2})\) может быть 1 или -1.

10. Поэтому у нас есть два случая:
- Первый случай: \(\sin(x) = 0\).
Вспомним, что у нас интервал (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}). То есть \(x\) может быть 0 или \(\frac{\pi}{2}\).
Подставим каждое из этих значений в исходную функцию и найдем максимальное значение.

- Второй случай: \(\cos(\frac{3x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 1\) или \(\cos(\frac{3x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = -1\).
Обратим внимание, что \(\cos(\frac{3x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = \cos(\frac{5x}{2})\) по формуле для косинуса двойного угла.
То есть у нас есть два уравнения: \(\cos(\frac{5x}{2}) = 1\) и \(\cos(\frac{5x}{2}) = -1\).
Найдем решения каждого уравнения в интервале (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) и подставим их в исходную функцию для нахождения максимального значения.

11. Найденные значения подставим в исходную функцию и выберем наибольшее из них.
После всех вычислений, максимальное значение функции \(y\) на интервале (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) будет равно ...

\[Здесь должно быть конкретное численное значение, но мне кажется, что мое решение где-то закралась ошибка.\]