Какое максимальное четырехзначное число, не имеющее повторяющихся цифр, удовлетворяет условию, что произведение

Давайте разберем задачу пошагово.

1. Пусть искомое число состоит из цифр \(abcd\), где каждая из цифр \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) представляют собой отдельные цифры в записи числа.

2. Условие "произведение наибольшей и наименьшей цифр в четыре раза больше произведения двух средних цифр" можно записать следующим образом: \(ab \cdot cd = 4 \cdot bc \cdot ad\).

3. Максимальное четырехзначное число будет иметь наибольшую цифру на месте тысяч, наименьшую цифру на месте единиц, а две средние цифры будут находиться на местах сотен и десятков (или наоборот).

4. Поскольку нам нужно максимально возможное число, выберем максимально доступную цифру 9 для места тысяч. Также для места единиц выберем наименьшую возможную цифру 1.

5. Составим уравнение на основе условия: \(91 \cdot cd = 4 \cdot bc \cdot 9d\).

6. Упростим уравнение, разделив обе части на 9: \(10 \cdot cd = 4 \cdot bc \cdot d\).

7. Теперь нужно проверить все возможные значения для цифр \(bc\) и \(d\). Начнем с \(d = 1\): \(10 \cdot cd = 4 \cdot bc \cdot 1\) (или \(10 \cdot c = 4 \cdot bc\)). Заметим, что при таком выборе \(c = b\) (поскольку наше число не должно иметь повторяющихся цифр), но это противоречит условию. Следовательно, \(d\) не может быть равно 1.

8. Проверим случай, когда \(d = 2\): \(10 \cdot cd = 4 \cdot bc \cdot 2\) (или \(5 \cdot cd = 2 \cdot bc\)). Попытаемся найти такие значения \(c\) и \(b\), чтобы уравнение выполнялось:

- Если \(c = 1\) и \(b = 5\), то у нас получится число 9152, которое удовлетворяет условию.
- Если \(c = 2\) и \(b = 10\), это означает, что цифры на местах сотен и десятков будут одинаковыми, что не допустимо.

Следовательно, полученное нами число 9152 является максимально возможным четырехзначным числом без повторяющихся цифр, удовлетворяющим условию задачи.

Таким образом, ответ на задачу составляет 9152.