Какое количество мелодий разных жанров можно выбрать для показа на фестивале из репертуара школьного музыкального

Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать комбинаторику, точнее, методы подсчета комбинаций.

Давайте рассмотрим каждый жанр по отдельности. У нас есть 7 эстрадных мелодий, 4 джазовые и 5 народных композиций.

Во-первых, выберем эстрадные мелодии. Мы можем выбрать любое количество мелодий из имеющегося числа, поэтому общее количество сочетаний для эстрадных мелодий будет выглядеть следующим образом:

\(\binom{7}{0} + \binom{7}{1} + \binom{7}{2} + \binom{7}{3} + \binom{7}{4} + \binom{7}{5} + \binom{7}{6} + \binom{7}{7}\)

Где \(\binom{7}{0}\) - количество способов выбрать 0 эстрадных мелодий из 7, а \(\binom{7}{1}\) - количество способов выбрать 1 эстрадную мелодию из 7, и так далее.

Пользуясь формулой для биномиальных коэффициентов \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), мы можем вычислить каждое отдельное сочетание.

Произведем вычисления:

\(\binom{7}{0} = \frac{7!}{0!(7-0)!} = \frac{7!}{0!7!} = 1\) (выбор 0 мелодий из 7 - один вариант: ничего не выбирать)
\(\binom{7}{1} = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7\) (выбор 1 мелодии из 7)
\(\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = 21\) (выбор 2 мелодий из 7)
\(\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = 35\) (выбор 3 мелодий из 7)
\(\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = 35\) (выбор 4 мелодий из 7)
\(\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = 21\) (выбор 5 мелодий из 7)
\(\binom{7}{6} = \frac{7!}{6!(7-6)!} = \frac{7!}{6!1!} = 7\) (выбор 6 мелодий из 7)
\(\binom{7}{7} = \frac{7!}{7!(7-7)!} = \frac{7!}{7!0!} = 1\) (выбор 7 мелодий из 7 - один вариант: все мелодии)

Суммируя результаты, получаем:

\(1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128\)

Таким образом, мы можем выбрать 128 различных комбинаций мелодий разных жанров из репертуара школьного музыкального ансамбля для показа на фестивале.