Какое число Ваня смог точно назвать, глядя на все возможные попарные суммы пяти натуральных чисел, которые написал

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо проанализировать все возможные попарные суммы пяти натуральных чисел, представленные Димой. Основываясь на том, что было всего три различных значения для данных сумм, мы сможем определить число, которое Ваня смог точно назвать.

Пусть \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\) - пять натуральных чисел, которые были использованы Димой. Для удобства, рассмотрим все возможные комбинации попарных сумм:

1. \(a + b\)
2. \(a + c\)
3. \(a + d\)
4. \(a + e\)
5. \(b + c\)
6. \(b + d\)
7. \(b + e\)
8. \(c + d\)
9. \(c + e\)
10. \(d + e\)

У нас есть информация о трех различных значениях сумм - 47, 72.

Из всего этого нам нужно выяснить, какое число было использовано дважды, а какое было использовано трижды. Для этого проведем анализ.

Из пунктов 1 и 10 понятно, что значение, использованное трижды, должно быть равно сумме 47 и 72, так как эти два значения встречаются только здесь. Следовательно, сумма 47 + 72 = 119 использовалась трижды.

Теперь нам осталось определить число, которое использовалось дважды. Мы можем составить систему уравнений на основе последних трех сумм:

\[
\begin{align*}
b + e &= 47 \\
c + d &= 47 \\
c + e &= 72 \\
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения/вычитания. Выберем метод сложения/вычитания.

Вычтем уравнения (2) и (3), чтобы избавиться от \(c\):

\[
\begin{align*}
(c + d) - (c + e) &= 47 - 72 \\
d - e &= -25 \\
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть выражение для разности \(d - e\).

Заметим, что значение \(d - e\) равно -25. Мы знаем, что \(d\) и \(e\) - натуральные числа. Также, мы ищем такие числа, чтобы сумма \(b + e\) равнялась 47. Зная какую-либо разность и сумму, можно найти два числа, которые дают эти значения.

Так как разность \(d - e\) равна -25, а сумма \(b + e\) равна 47, мы можем установить, что \(d = 11\) и \(e = 36\).

Зная эти значения, подставим их обратно в систему уравнений:

\[
\begin{align*}
b + e &= 47 \\
c + d &= 47 \\
c + e &= 72 \\
\end{align*}
\]

Подставим \(e = 36\), получаем:

\[
\begin{align*}
b + 36 &= 47 \\
c + 11 &= 47 \\
c + 36 &= 72 \\
\end{align*}
\]

Теперь решим эти уравнения:

\[
\begin{align*}
b &= 47 - 36 = 11 \\
c &= 47 - 11 = 36 \\
\end{align*}
\]

Также \(c + 36 = 72\), значит \(c = 36\).

Таким образом, мы получаем, что числа \(b = 11\), \(c = 36\), \(d = 11\) и \(e = 36\) соответствуют условию задачи.

Ответ: Ваня смог точно назвать число 36, глядя на все возможные попарные суммы пяти натуральных чисел, которые написал Дима, и которых было всего три различных значения: 47, 72.