Какое будет ожидаемое количество попыток, которые потребуются Васе, чтобы открыть дверь своей квартиры? У Васи есть

Чтобы найти ожидаемое количество попыток, которые потребуются Васе, чтобы открыть дверь своей квартиры, мы должны разделить задачу на две части: поиск ключа в среду (не в пятницу) и поиск ключа в пятницу.

Давайте начнем с поиска ключа в среду. Нам дано, что среднее количество попыток Васи в среду равно a. Если Вася пытается открыть дверь в среду, то первый ключ, который он выбирает, может быть любым из n ключей. Вероятность найти правильный ключ, выбрав его с первой попытки, равна 1/n. Если Вася не открывает дверь, то он исключает неподходящие ключи из последующих проверок. После каждой неудачной попытки количество доступных ключей сокращается на 1, поэтому на вторую попытку вероятность найти правильный ключ будет уже 1/(n-1), на третью попытку - 1/(n-2), и так далее. Итак, мы можем записать следующее уравнение:

\[a = \frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-2} + \ldots + \frac{1}{1}\]

Для того, чтобы найти значение a, можно воспользоваться формулой для суммы гармонического ряда:

\[H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\]

Теперь рассмотрим поиск ключа в пятницу. В пятницу Вася не может исключать неподходящие ключи из последующих проверок. Поэтому вероятность найти ключ с первой попытки равна 1/n, с второй попытки - 1/n, с третьей попытки - 1/n, и так далее. Мы можем записать это следующим образом:

\[b = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \ldots\]

Поскольку среднее количество попыток в пятницу должно быть равно b, мы можем записать это уравнение:

\[b = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \ldots\]

Теперь, чтобы найти значение a, нам нужно знать, какое значение принимает бесконечная сумма 1/n. Это значение известно и оно равно бесконечности. Поэтому решение уравнения для b будет таким:

\[b = \infty\]

Теперь мы знаем, что значение a будет больше значения b, чтобы указать это, можно записать следующее:

\[a > b\]