Какое будет наибольшее значение для x+y, если при заданных a и b, таких что a²+b²=1, числа x и y удовлетворяют системе

Чтобы найти наибольшее значение для выражения x+y, при данных условиях, нам необходимо решить систему уравнений ax-by=1 и bx+ay=2. Давайте посмотрим на различные шаги решения этой задачи.

1. Запишем систему уравнений:
\[
\begin{align*}
ax - by &= 1 \\
bx + ay &= 2 \\
\end{align*}
\]

2. Умножим первое уравнение на x, а второе на y и сложим их почленно:
\[
\begin{align*}
ax^2 - bxy + bxy + ay^2 &= x + 2y \\
ax^2 + ay^2 &= x + 2y \\
\end{align*}
\]

3. Воспользуемся известным соотношением \(a^2 + b^2 = 1\), подставив его в уравнение:
\[
\begin{align*}
a(ax + ay) &= x + 2y \\
a^2(x + y) &= x + 2y \\
\end{align*}
\]

4. Разделим оба выражения на \(x + y\):
\[
\begin{align*}
a^2 &= \frac{x + 2y}{x + y} \\
\end{align*}
\]

5. Используя формулу для \(a^2\) из уравнения \(a^2 + b^2 = 1\), получим:
\[
\begin{align*}
1 &= \frac{x + 2y}{x + y} + b^2 \\
1 &= \frac{x + 2y}{x + y} + (1 - a^2) \\
1 &= \frac{x + 2y}{x + y} + (1 - \frac{x + 2y}{x + y}) \\
1 &= \frac{x + 2y}{x + y} + \frac{x + y - x - 2y}{x + y} \\
1 &= \frac{x + 2y + x + y - x - 2y}{x + y} \\
1 &= \frac{2x}{x + y} \\
2x &= x + y \\
y &= x \\
\end{align*}
\]

6. Подставим значение y в первое уравнение и решим его относительно x:
\[
\begin{align*}
ax - bx &= 1 \\
x(a - b) &= 1 \\
x &= \frac{1}{a - b} \\
\end{align*}
\]

Заметим, что значение x не ограничено, но y должно быть равно x.

Таким образом, для любых чисел a и b, таких что \(a^2 + b^2 = 1\), наибольшее значение для выражения x + y будет достигаться, когда x и y совпадают и равны \(\frac{1}{a - b}\).