Какое будет каноническое уравнение эллипса, если известно, что его большая полуось равна 6, а эксцентриситет

Для начала, давайте вспомним определение эллипса. Эллипс - это геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна и равна длине большой оси. Также, эксцентриситет эллипса - это числовое значение, определяющее степень его вытянутости или "эллиптичности".

Чтобы найти каноническое уравнение эллипса, следуем этим шагам:

Шаг 1: Найдем отношение эксцентриситета \( \varepsilon \) к длине большой полуоси \( a \).

В данной задаче сказано, что большая полуось равна 6 и известна только большая полуось. Нам не дано значение эксцентриситета.

Отношение используется для определения степени вытянутости эллипса. Формула для нахождения отношения эксцентриситета:

\[ \varepsilon = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2} \]

где \( b \) - малая полуось.

Нам известна только \( a \), поэтому мы не можем вычислить эксцентриситет напрямую. Однако, мы знаем, что для эллипса \( 0 < \varepsilon < 1 \). Это означает, что эксцентриситет должен быть меньше 1. Если эксцентриситет был бы 1 или больше, мы бы имели дело с параболой или гиперболой, а не с эллипсом.

Шаг 2: Найдем квадраты большой и малой полуосей.

Используя известное значение большей полуоси \( a = 6 \), мы можем найти квадрат большой полуоси, обозначенный \( a^2 \).

\[ a^2 = 6^2 = 36 \]

Шаг 3: Найдем эксцентриситет и малую полуось.

Мы могли бы найти малую полуось, например, с помощью эксцентриситета, однако мы не знаем значение эксцентриситета. Вместо этого мы можем использовать тот факт, что эксцентриситет меньше 1, чтобы найти малую полуось \( b \).

Таким образом, мы должны найти значение \( b \), удовлетворяющее условию \( b < a \).

Шаг 4: Записываем каноническое уравнение эллипса в общем виде.

Каноническое уравнение эллипса, выраженное в общем виде, следующее:

\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]

где \( (x, y) \) - координаты точки на эллипсе.

Шаг 5: Подставляем значения в уравнение.

Мы уже вычислили значение \( a^2 \) в шаге 2 и знали что \( a = 6 \). Теперь, подставим найденные значения в общее уравнение эллипса.

\[ \dfrac{x^2}{6^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]

Осталось найти значение \( b \).

Шаг 6: Находим значение малой полуоси \( b \).

Как мы обсудили ранее, мы знаем, что эксцентриситет \( \varepsilon \) должен быть меньше 1 и содержит в себе информацию о малой полуоси \( b \):

\[ \varepsilon = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{6}\right)^2} \]

Таким образом, нам необходимо решить это уравнение для \( b \). Найдя \( b \), мы можем подставить его значение в уравнение эллипса, чтобы получить каноническое уравнение.

Шаг 7: Решаем уравнение для \( b \).

Сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ 1 - \left(\dfrac{b}{6}\right)^2 = \varepsilon^2 \]

Извлекаем корень:

\[ \dfrac{b}{6} = \sqrt{1 - \varepsilon^2} \]

Умножаем обе части на 6:

\[ b = 6 \cdot \sqrt{1 - \varepsilon^2} \]

Теперь мы знаем значение \( b \). Мы можем подставить его в уравнение эллипса, чтобы получить каноническое уравнение.

Шаг 8: Записываем каноническое уравнение эллипса.

Подставим значение \( b \) в уравнение эллипса:

\[ \dfrac{x^2}{6^2} + \dfrac{y^2}{(6 \cdot \sqrt{1 - \varepsilon^2})^2} = 1 \]

Это и есть искомое каноническое уравнение эллипса. Ответ зависит от конкретного значения эксцентриситета \( \varepsilon \), которое нам не дано в задаче.