Какое атмосферное давление можно определить, считая температуру газа в трубке постоянной, если стеклянная трубка

Для решения этой задачи, нам понадобятся законы сохранения механики и уравнение состояния идеального газа.

Первоначально, мы знаем, что длина стеклянной трубки при первом перемещении (с запаянным концом вперед) составила в 1,3 раза больше, чем при втором перемещении (с открытым концом вперед). Обозначим длину воздушного столбика во втором случае как \(h_2\), тогда длина столбика в первом случае составит \(h_1 = 1.3h_2\).

Также нам дано, что трубку перемещали с постоянным ускорением 8,6 м/с². Для нашего решения, будем считать, что ось положительных координат направлена вперед. При первом перемещении, трубка подвергается ускорению, направленному против оси положительных координат (так как запаянный конец движется вперед) и при втором перемещении ускорение направлено по оси положительных координат (так как открытый конец движется вперед).

Используем второй закон Ньютона (F=ma) для первого перемещения:
\[F_1 - P_1S = ma_1\]
Где:
\(F_1\) - сила атмосферного давления на открытый конец трубки,
\(P_1\) - атмосферное давление,
\(S\) - площадь поперечного сечения трубки,
\(m\) - масса воздуха в трубке,
\(a_1\) - ускорение трубки.

Так как стеклянная трубка запаяна с одного конца, то внутри трубки создается вакуум, и силы атмосферного давления действуют на открытый конец трубки и на верхнюю поверхность ртути в трубке. Силы давления на запаянном конце компенсируют друг друга.

При втором перемещении, использовываем второй закон Ньютона:
\[F_2 + P_2S = ma_2\]
Где:
\(F_2\) - сила атмосферного давления на запаянный конец трубки,
\(P_2\) - атмосферное давление,
\(S\) - площадь поперечного сечения трубки,
\(m\) - масса воздуха в трубке,
\(a_2\) - ускорение трубки.

Так как стеклянная трубка запаяна с одного конца, то внутри трубки создается вакуум, и силы атмосферного давления действуют на запаянный конец трубки и на верхнюю поверхность ртути в трубке. Силы давления на открытом конце компенсируют друг друга.

Так как перемещение происходит с постоянным ускорением, то считаем \(a_1 = a_2 = a\).

Масса воздуха в трубке (m) может быть определена через объем. Объем \(V_1\) при первом перемещении будет равен площади поперечного сечения трубки, умноженной на длину столбика воздуха \(h_1\):
\[V_1 = Sh_1\]
Аналогично, объем \(V_2\) при втором перемещении будет равен площади поперечного сечения трубки, умноженной на длину столбика воздуха \(h_2\):
\[V_2 = Sh_2\]

Уравнение состояния идеального газа:
\[PV = nRT\]
Где:
\(P\) - давление,
\(V\) - объем,
\(n\) - количество вещества,
\(R\) - универсальная газовая постоянная,
\(T\) - абсолютная температура.

Поскольку температура газа в трубке считается постоянной, то для \(V_1\) и \(V_2\) верно соотношение:
\[V_1 = V_2\]

Подставляем полученные уравнения и обозначения в уравнения движения для первого и второго перемещений и выражаем давления \(P_1\) и \(P_2\):
\[F_1 - P_1Sh_1 = ma\]
\[F_2 + P_2Sh_2 = ma\]

Из условия задачи, известно, что длина столбика ртути составляет 11 см, следовательно, \(h_2 = 11 \; см = 0,11 \; м\), а также \(h_1 = 1.3 \cdot h_2 = 1.3 \cdot 0,11 \; м\).

Так как \(F_1 = F_2\), \(h_1 = 1.3h_2\) и \(m = \rho V_1 = \rho V_2\) (так как объемы равны), где \(\rho\) - плотность воздуха, то уравнения движения могут быть записаны в следующей форме:
\[\rho Sh_1g - P_1Sh_1 = \rho Sh_2g + P_2Sh_2\]

Для нахождения атмосферного давления (\(P_2\)) воспользуемся известными значениями:
\(h_2 = 0,11 \; м\),
\(h_1 = 1.3 \cdot 0,11 \; м\),
\(S\) - площадь поперечного сечения трубки,
\(\rho\) - плотность воздуха,
\(g\) - ускорение свободного падения.

Упрощаем уравнение и находим \(P_2\):

\[\rho Sh_1g - P_1Sh_1 = \rho Sh_2g + P_2Sh_2\]
\[\rho S \cdot 1.3 \cdot 0,11g - P_1Sh_1 = \rho Sh_2g + P_2Sh_2\]
\[1.43 \rho Sg = P_1Sh_1 + P_2Sh_2\]
\[1.43 \rho Sg = P_1Sh_1 + P_2S \cdot 0.11\]

Таким образом, мы получили уравнение, в котором нам известны все значения, кроме \(P_2\). Решая его, мы сможем найти атмосферное давление \(P_2\).