Какими векторами можно разложить векторы de⃗ и ef⃗, если имеются три вектора a⃗, b⃗ и c⃗, не лежащих в одной плоскости

Чтобы разложить векторы \(\vec{de}\) и \(\vec{ef}\) на другие векторы, нам понадобятся базисные векторы, которые не лежат в одной плоскости с векторами \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Предлагаю выбрать векторы \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\), которые будут ортогональными векторами к плоскости, образованной векторами \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\).

Мы можем найти вектор \(\vec{u}\), используя векторное произведение \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\[ \vec{u} = \vec{a} \times \vec{b} \]

А вектор \(\vec{v}\) можно найти, выполнив векторное произведение \(\vec{a}\) и \(\vec{u}\):
\[ \vec{v} = \vec{a} \times \vec{u} \]

Теперь мы можем разложить векторы \(\vec{de}\) и \(\vec{ef}\) на базисные векторы \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) с помощью коэффициентов пропорций, заданных в условии.

Пусть точка \(e\) делит ребро \(ab\) в отношении \(m:n\), а точка \(f\) делит ребро \(cc_1\) в отношении \(p:q\). Тогда коэффициенты пропорции можно записать следующим образом: \(m:n = |ae|:|eb|\) и \(p:q = |cf|:|f c_1|\).

Чтобы получить разложение вектора \(\vec{de}\), используем следующую формулу:
\[ \vec{de} = \frac{m}{m+n}\vec{da} + \frac{n}{m+n}\vec{ab} \]

Аналогично, для разложения вектора \(\vec{ef}\) получаем:
\[ \vec{ef} = \frac{p}{p+q}\vec{ec} + \frac{q}{p+q}\vec{c c_1} \]

Итак, мы получили разложение векторов \(\vec{de}\) и \(\vec{ef}\) с помощью базисных векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\).

Округлим ответы до сотых и запишем их:

\[
\begin{align*}
\vec{de} &= \frac{m}{m+n}\vec{da} + \frac{n}{m+n}\vec{ab} \\
\vec{ef} &= \frac{p}{p+q}\vec{ec} + \frac{q}{p+q}\vec{c c_1}
\end{align*}
\]