Каким углом была брошена граната в первый раз, если второй раз она брошена подуглом, в два раза большим

Для решения этой задачи нам понадобятся основные законы физики. Первым шагом давайте определим, как изменяется дальность полета гранаты при разных углах броска.

Дальность полета \(R\) гранаты зависит от начальной скорости броска \(v_0\) и угла броска \(\theta\) по формуле:

\[R = \frac{{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}}{g}\]

где \(g\) - ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с\(^2\)).

В задаче сказано, что второй раз граната брошена подуглом, в два раза большим первоначального, при этом дальность полета осталась неизменной. Это означает, что дальность полета \(R\) осталась такой же в обоих случаях. Подставим это условие в формулу для дальности полета и сравним два случая:

\[\frac{{v_0^2 \cdot \sin(2\theta_1)}}{g} = \frac{{(2v_0)^2 \cdot \sin(2\theta_2)}}{g}\]

Упростим выражение, сокращая на \(g\):

\[v_0^2 \cdot \sin(2\theta_1) = (2v_0)^2 \cdot \sin(2\theta_2)\]

Используя тригонометрическую формулу для удвоенного угла \(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\), приведем данное выражение к более простому виду:

\[v_0^2 \cdot 2\sin(\theta_1)\cos(\theta_1) = (2v_0)^2 \cdot 2\sin(\theta_2)\cos(\theta_2)\]

Сокращаем на \(2\) и на \(v_0^2\):

\[\sin(\theta_1)\cos(\theta_1) = \sin(\theta_2)\cos(\theta_2)\]

Теперь разделим обе части равенства:

\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\cos(\theta_2)}} = \frac{{\sin(\theta_2)}}{{\cos(\theta_1)}}\]

Воспользуемся тригонометрической формулой \(\tan(\alpha) = \frac{{\sin(\alpha)}}{{\cos(\alpha)}}\):

\[\tan(\theta_1) = \tan(\theta_2)\]
\[\theta_1 = \theta_2\]

Таким образом, угол броска в первый раз и во второй раз одинаковый.

Чтобы определить во сколько раз отличаются максимальные высоты подъема гранаты в описанных двух случаях, необходимо знать зависимость максимальной высоты от угла броска. Отметим, что максимальная высота достигается при вертикальном броске (\(\theta = 90^\circ\)).

Максимальная высота подъема \(H\) связана с начальной скоростью броска \(v_0\) и ускорением свободного падения \(g\) по формуле:

\[H = \frac{{v_0^2 \cdot \sin^2(\theta)}}{{2g}}\]

Подставим угол броска \(\theta\) для каждого из случаев:

\[\text{Максимальная высота в первом случае: } H_1 = \frac{{v_0^2 \cdot \sin^2(\theta_1)}}{{2g}}\]
\[\text{Максимальная высота во втором случае: } H_2 = \frac{{v_0^2 \cdot \sin^2(\theta_2)}}{{2g}}\]

Учитывая, что \(\theta_1 = \theta_2\), можем сократить этот фактор:

\[\frac{{H_1}}{{H_2}} = \frac{{\frac{{v_0^2 \cdot \sin^2(\theta_1)}}{{2g}}}}{{\frac{{v_0^2 \cdot \sin^2(\theta_2)}}{{2g}}}} = \frac{{\sin^2(\theta_1)}}{{\sin^2(\theta_2)}} = 1\]

Таким образом, максимальные высоты подъема гранаты в обоих случаях одинаковы и не отличаются. Ответ: максимальные высоты подъема гранаты в описанных двух случаях одинаковы, отличаются в \(1\) раз.