Какие значения x являются точками экстремума для функции y=4x−8cosx, где x∈[−π/2;π]? Какой характер у этих точек?

Для нахождения точек экстремума функции \(y = 4x - 8\cos(x)\) в заданном интервале \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]\), мы должны найти значения \(x\), где производная функции равна нулю или не существует.

Давайте найдем производную функции \(y\) по \(x\):

\[y" = \frac{d}{dx} (4x - 8\cos(x)) = 4 + 8\sin(x)\]

Теперь приравняем \(y"\) к \(0\) и найдем значение \(x\):

\[4 + 8\sin(x) = 0\]

Вычтем 4 из обеих сторон и поделим на 8:

\[8\sin(x) = -4\]

\[\sin(x) = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\]

Чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению, мы должны использовать обратную функцию синуса (\(\arcsin\)).

\[x = \arcsin(-\frac{1}{2})\]

Но прежде чем продолжить, мы должны учесть ограничение области \(x\) в задаче, а именно, \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]\). То есть значения \(x\) должны быть в этом интервале.

Обратная функция синуса имеет значения в диапазоне \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\). Чтобы найти все значения \(x\), удовлетворяющие условию \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\) и лежащие в интервале \([- \frac{\pi}{2}, \pi]\), мы должны искать два набора значений \(x\): один в отрицательном диапазоне и один в положительном диапазоне.

В отрицательном диапазоне:
\[x = \arcsin(-\frac{1}{2}) \approx -\frac{\pi}{6}\]

В положительном диапазоне:
\[x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) \approx \frac{7\pi}{6}\]

Теперь у нас есть две точки экстремума: \(x = -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\). Чтобы определить характер этих точек, нам нужно взять вторую производную функции \(y\) и проанализировать ее знаки на этих точках.

Возьмем вторую производную функции \(y\):

\[y"" = \frac{d^2}{dx^2} (4x - 8\cos(x)) = 8\cos(x)\]

Подставим \(x\) в точки экстремума:

Для \(x = -\frac{\pi}{6}\):
\[y""(-\frac{\pi}{6}) = 8\cos(-\frac{\pi}{6}) = 8\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\]

Для \(x = \frac{7\pi}{6}\):
\[y""(\frac{7\pi}{6}) = 8\cos(\frac{7\pi}{6}) = 8\frac{-\sqrt{3}}{2} = -4\sqrt{3}\]

Теперь мы можем проанализировать знаки \(y""\) на этих точках:

Для \(x = -\frac{\pi}{6}\), \(y""(-\frac{\pi}{6}) = 4\sqrt{3} > 0\), что означает, что функция \(y\) имеет минимум в этой точке.

Для \(x = \frac{7\pi}{6}\), \(y""(\frac{7\pi}{6}) = -4\sqrt{3} < 0\), что означает, что функция \(y\) имеет максимум в этой точке.

Таким образом, значения \(x = -\frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{7\pi}{6}\) являются точками экстремума функции \(y = 4x - 8\cos(x)\) в интервале \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]\). При этом, точка экстремума \(x = -\frac{\pi}{6}\) является минимумом функции, а точка экстремума \(x = \frac{7\pi}{6}\) является максимумом функции.