Какие значения x удовлетворяют уравнению tgx=−4, где x принадлежит отрезку (−3π2;3π2)? Какие значения x удовлетворяют

Давайте решим первое уравнение \( \tan{x} = -4 \). Чтобы найти значения \( x \), которые удовлетворяют этому уравнению, нам нужно найти все значения \( x \) на интервале \( \left( -\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right) \), при которых тангенс \( x \) равняется -4.

Для начала, найдем общее решение уравнения \( \tan{x} = -4 \). Для этого мы можем использовать свойства тангенса. Тангенс - это отношение синуса к косинусу, то есть \( \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \).

Теперь мы можем записать уравнение как \( \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = -4 \).

После умножения обеих частей уравнения на \( \cos{x} \) мы получаем: \( \sin{x} = -4\cos{x} \).

Теперь воспользуемся идентичностью Пифагора \( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \).

Мы можем переписать исходное уравнение так: \( \sin^2{x} = 16\cos^2{x} \).

Подставим значение \( \sin^2{x} \) из идентичности Пифагора в уравнение:

\( 1 - \cos^2{x} = 16\cos^2{x} \).

Теперь приравняем \( \cos^2{x} \) к \( t \), чтобы получить квадратное уравнение:

\( 1 - t = 16t \).

Решим это уравнение для \( t \):

\( 17t = 1 \).

\( t = \frac{1}{17} \).

Таким образом, мы нашли \( \cos^2{x} = \frac{1}{17} \).

Теперь найдем \( \cos{x} \). Так как \( \cos{x} \) не может быть отрицательным, то \( \cos{x} = \sqrt{\frac{1}{17}} \).

Теперь найдем \( \sin{x} \) используя идентичность Пифагора:

\( \sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}} = \sqrt{1 - \frac{1}{17}} = \sqrt{\frac{16}{17}} \).

Теперь мы можем использовать аргумент \( x \) для определения соответствующих углов.

Так как \( \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \), то \( \tan{x} = \frac{\sqrt{\frac{16}{17}}}{\sqrt{\frac{1}{17}}} = \sqrt{16} = 4 \).

Таким образом, уравнение \( \tan{x} = -4 \) имеет единственное решение на интервале \( \left( -\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right) \), и это значение \( x = \arctan{(-4)} \).

\[ x = \arctan{(-4)} \approx -1.3258 \text{ радиан} \]

Сейчас перейдем ко второму уравнению \( \tan{x} = -\sqrt{3} \). Мы можем использовать тот же подход, что и раньше.

Мы знаем, что \( \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \), поэтому уравнение перепишется в виде \( \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = -\sqrt{3} \).

Поделим оба выражения \( \sin{x} \) и \( \cos{x} \) на \( \cos{x} \):

\( \tan{x} = -\sqrt{3} \Rightarrow \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = -\sqrt{3} \).

Мы знаем, что \( \sin{x} = \cos{x} \cdot \tan{x} \). Подставим этот результат в уравнение:

\( \cos{x} \cdot \tan{x} = -\sqrt{3} \Rightarrow \cos^2{x} = -\sqrt{3} \).

Поскольку \( \cos^2{x} \) не может быть отрицательным числом, уравнение не имеет решений на интервале \( (-2700, 2700) \).

Таким образом, уравнение \( \tan{x} = -\sqrt{3} \) не имеет решений в данном интервале.

Надеюсь, это решение понятно и помогает вам! Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!