Какие значения x удовлетворяют уравнению 5tg2x+9tgx−2=0?

Для начала, нам необходимо решить уравнение \(5\tan^2 x + 9\tan x - 2 = 0\).

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать замену переменных. Давайте заменим переменную \(\tan x = t\). Теперь уравнение становится квадратным уравнением относительно \(t\):

\[5t^2 + 9t - 2 = 0\]

Теперь давайте попытаемся разложить это уравнение на множители или воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти корни квадратного уравнения. Дискриминант равен:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (9)^2 - 4(5)(-2)\]
\[D = 81 + 40 = 121\]

Таким образом, дискриминант положительный (\(D > 0\)), что означает, что у нас есть два различных действительных корня.

Теперь давайте используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляя значения, получаем:

\[t_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\]

\[t_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2\]

Теперь мы знаем значения \(t_1\) и \(t_2\), но нам нужно найти значения \(x\). Для этого мы можем использовать обратную функцию тангенса \(\arctan\) или \(\tan^{-1}\) для каждого значения \(t\).

Для \(t = \frac{1}{5}\):

\[x_1 = \arctan\left(\frac{1}{5}\right) \approx 0.197\text{ радиан}\]

Для \(t = -2\):

\[x_2 = \arctan(-2) \approx -1.107\text{ радиан}\]

Таким образом, значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению \(5\tan^2 x + 9\tan x - 2 = 0\), равны примерно 0.197 радиан и -1.107 радиан.