Какие значения x соответствуют точкам на графике функции f(x) = 1/3x^3 + 5x^2 - 1, в которых наклонные касательные

Чтобы определить значения x, соответствующие точкам на графике функции f(x) = \(\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 - 1\), в которых наклонные касательные параллельны, нам необходимо найти значения x, в которых производная функции равна одной и той же константе. При этом, эта константа представляет собой коэффициент наклона касательной. Давайте приступим к решению.

1. Найдем первую производную функции f(x).
\[
f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 - 1\right)
\]

Для нахождения производной функции, мы можем применить правила дифференцирования. Производная каждого члена функции получается путем умножения степени на коэффициент и уменьшения степени на 1.

\[
f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3}x^3\right) + \frac{d}{dx} (5x^2) - \frac{d}{dx} (1)
\]

\[
f"(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx} (x^3) + 5 \cdot \frac{d}{dx} (x^2) - 0
\]

\[
f"(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 5 \cdot 2x
\]

Упростим выражение:
\[
f"(x) = x^2 + 10x
\]

2. Теперь мы должны приравнять производную к некоторой константе, чтобы найти значения x, где наклонные касательные параллельны. Пусть это значение константы будет равно k. Тогда получаем уравнение:
\[
x^2 + 10x = k
\]

3. Чтобы решить это квадратное уравнение, приведем его к стандартному виду:
\[
x^2 + 10x - k = 0
\]

4. Теперь мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти значения x:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Для нашего уравнения, a = 1, b = 10 и c = -k.

5. Таким образом, значения x, соответствующие точкам на графике функции f(x), в которых наклонные касательные параллельны, определяются как:
\[
x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k)}}{2 \cdot 1}
\]

6. Чтобы найти точные значения x, мы должны знать значение константы k. Без этого значения, мы не сможем определить точные значения x.

Таким образом, чтобы определить значения x, соответствующие точкам на графике функции f(x), в которых наклонные касательные параллельны, нам необходимо знать конкретное значение константы k. Если у вас есть это значение, я могу помочь вам найти точные значения x.