Какие значения коэффициента c удовлетворяют условию, что прямая x + y + c = 0 и окружность x^2 + y^2 = 200 имеют одну

Для начала, давайте рассмотрим данную проблему вместе. У нас есть прямая со уравнением \(x + y + c = 0\) и окружность с уравнением \(x^2 + y^2 = 200\). Наша цель - найти значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку, то есть прямая касается окружности .

Чтобы решить эту задачу, нужно проанализировать геометрическое взаимодействие прямой и окружности. Когда прямая касается окружности, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности.

Давайте найдем уравнение прямой, проходящей через центр окружности. Центр окружности находится в точке (0, 0), поэтому подставим эти значения в уравнение прямой:

\(0 + 0 + c = 0\)

Получаем уравнение прямой: \(y = -c\).

Теперь найдем расстояние от центра окружности до прямой \(y = -c\). Для этого воспользуемся формулой для расстояния от точки до прямой:

\(d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\),

где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой, а x и y - координаты точки на прямой.

В нашем случае коэффициенты A, B и C равны 1, 1 и c соответственно. Подставим их в формулу:

\(d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot (-c) + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-c|}{\sqrt{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}}\).

Теперь, чтобы прямая касалась окружности, расстояние d должно быть равно радиусу окружности. Радиус окружности равен \(\sqrt{200}\).

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\(\frac{c}{\sqrt{2}} = \sqrt{200}\).

Чтобы найти значение c, домножим обе стороны на \(\sqrt{2}\):

\(c = \sqrt{200} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{400} = 20\).

Таким образом, значение коэффициента c, при котором прямая \(x + y + c = 0\) касается окружности \(x^2 + y^2 = 200\), равно 20.

Я надеюсь, что данное пошаговое решение помогло. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.