Какие значения коэффициента c удовлетворяют условию, что прямая x + y + c = 0 и окружность x^2 + y^2 = 200 имеют одну

Для начала, давайте рассмотрим данную проблему вместе. У нас есть прямая со уравнением $x+y+c=0$ и окружность с уравнением $x^2+y^2=200$. Наша цель - найти значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку, то есть прямая касается окружности .

Чтобы решить эту задачу, нужно проанализировать геометрическое взаимодействие прямой и окружности. Когда прямая касается окружности, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности.

Давайте найдем уравнение прямой, проходящей через центр окружности. Центр окружности находится в точке (0, 0), поэтому подставим эти значения в уравнение прямой:

$0+0+c=0$

Получаем уравнение прямой: $y=-c$.

Теперь найдем расстояние от центра окружности до прямой $y=-c$. Для этого воспользуемся формулой для расстояния от точки до прямой:

$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$,

где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой, а x и y - координаты точки на прямой.

В нашем случае коэффициенты A, B и C равны 1, 1 и c соответственно. Подставим их в формулу:

$d=\frac{|1\cdot 0+1\cdot (-c)+0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|-c|}{\sqrt{2}}=\frac{c}{\sqrt{2}}$.

Теперь, чтобы прямая касалась окружности, расстояние d должно быть равно радиусу окружности. Радиус окружности равен $\sqrt{200}$.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

$\frac{c}{\sqrt{2}}=\sqrt{200}$.

Чтобы найти значение c, домножим обе стороны на $\sqrt{2}$:

$c=\sqrt{200}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{400}=20$.

Таким образом, значение коэффициента c, при котором прямая $x+y+c=0$ касается окружности $x^2+y^2=200$, равно 20.

Я надеюсь, что данное пошаговое решение помогло. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.