Какие значения коэффициента c должны быть, чтобы прямая x+y+c=0 касалась окружности x²+y²=18 в одной точке?

Чтобы найти значения коэффициента \( c \), при которых прямая \( x + y + c = 0 \) будет касаться окружности \( x^2 + y^2 = 18 \) в одной точке, мы можем использовать различные методы, включая геометрический и алгебраический подходы.

Геометрический подход:
1. Нарисуйте график окружности \( x^2 + y^2 = 18 \) и прямой \( x + y + c = 0 \) на координатной плоскости.
2. Рассмотрите случаи, когда прямая \( x + y + c = 0 \) касается окружности в одной точке. Для этого прямая должна быть касательной к окружности.
3. Проверьте, что прямая \( x + y + c = 0 \) имеет только одну точку пересечения с окружностью и не пересекает ее в других точках. Это значит, что у прямой и окружности должны быть одинаковые корни. Для этого рассмотрим квадратное уравнение, составленное из системы уравнений прямой и окружности.

Алгебраический подход:
1. Запишем уравнение прямой: \( x + y + c = 0 \).
2. Запишем уравнение окружности: \( x^2 + y^2 = 18 \).
3. Подставим уравнение прямой в уравнение окружности: \( (x + y + c)^2 + y^2 = 18 \).
4. Раскроем скобки и приведем подобные члены: \( x^2 + 2xy + c^2 + 2cy + y^2 + y^2 = 18 \).
5. Упростим уравнение: \( x^2 + 2xy + y^2 + c^2 + 2cy + 2y^2 = 18 \).
6. Приведем подобные члены и перепишем уравнение в стандартной форме: \( (x^2 + 2xy + y^2) + (c^2 + 2cy + 2y^2) = 18 \).
7. Упростим уравнение: \( (x + y)^2 + (c + y)^2 = 18 \).
8. Учитывая, что прямая \( x + y + c = 0 \) должна быть касательной к окружности, уравнение должно иметь только одно решение. Это возможно, только когда выражение в скобках равно 0:
\[ x + y = 0 \quad \text{и} \quad c + y = 0. \]
9. Решим последнюю систему уравнений:
\[ x + y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -x. \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ c + (-x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = c. \]
10. Таким образом, получаем условие, что значение коэффициента \( c \) должно быть равно значению переменной \( x \), которая равна значению переменной \( y \).