Какие значения имеют неизвестные элементы треугольника ABC, если: 1) Вторая сторона равна 3, третья сторона равна

7, а угол А равен 90°?

Для решения задачи, нам понадобятся различные свойства треугольников, такие как теорема косинусов и теорема синусов. Давайте решим каждую задачу по порядку.

1) У нас есть вторая сторона $b=3$, третья сторона $c=4$ и угол $A={135}^{\circ }$. Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти значение первой стороны $a$.

Теорема косинусов гласит:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (A)$$

Подставляя известные значения:

$$4^2=a^2+3^2-2\cdot a\cdot 3\cdot \cos ({135}^{\circ })$$

$$16=a^2+9-6a\cdot \cos ({135}^{\circ })$$

Так как $\cos ({135}^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим это значение и продолжим упрощение уравнения:

$$16=a^2+9+3\sqrt{2}a$$

$$0=a^2+3\sqrt{2}a-7$$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, используя формулу квадратного корня:

$$a=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Подставляем:

$$a=\frac{-3\sqrt{2}\pm \sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2-4\cdot 1\cdot (-7)}}{2\cdot 1}$$

$$a=\frac{-3\sqrt{2}\pm \sqrt{18+28}}{2}$$

$$a=\frac{-3\sqrt{2}\pm \sqrt{46}}{2}$$

Таким образом, первая сторона треугольника имеет два возможных значения: $a=\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{46}}{2}$ или $a=\frac{-3\sqrt{2}-\sqrt{46}}{2}$.

2) У нас есть первая сторона $a=2.4$, вторая сторона $b=1.3$ и угол $C={28}^{\circ }$. Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти значение третьей стороны $c$.

Теорема синусов гласит:

$$\frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$$

Подставляя известные значения:

$$\frac{2.4}{\sin ({180}^{\circ }-{28}^{\circ }-B)}=\frac{1.3}{\sin (B)}$$

Поскольку $B={180}^{\circ }-C$, мы можем заменить $\sin ({180}^{\circ }-{28}^{\circ }-B)$ на $\sin ({28}^{\circ }+B)$:

$$\frac{2.4}{\sin ({28}^{\circ }+B)}=\frac{1.3}{\sin (B)}$$

Затем мы можем переписать это уравнение в виде:

$$2.4\cdot \sin (B)=1.3\cdot \sin ({28}^{\circ }+B)$$

Теперь мы можем решить это уравнение численно, используя численные методы или калькулятор. Полученное значение будет третьей стороной треугольника $c$.

3) У нас есть первая сторона $a=5$, угол $B={30}^{\circ }$, и угол $C={45}^{\circ }$. Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти значение второй стороны $b$.

Теорема синусов гласит:

$$\frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$$

Подставляя известные значения:

$$\frac{5}{\sin ({180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{45}^{\circ })}=\frac{b}{\sin ({30}^{\circ })}$$

Переписывая уравнение в виде:

$$5\cdot \sin ({30}^{\circ })=b\cdot \sin ({75}^{\circ })$$

Теперь мы можем решить данное уравнение численно, используя численные методы или калькулятор. Полученное значение будет второй стороной треугольника $b$.

4) У нас есть первая сторона $a=7$, вторая сторона $b=2$, третья сторона $c=7$, и угол $A={90}^{\circ }$. Треугольник в этой задаче является прямоугольным треугольником.

Так как у нас есть все три стороны и один из углов треугольника, мы можем использовать теорему косинусов и теорему синусов для решения задачи.

Используя теорему косинусов, мы можем найти угол $B$:

$$\cos (B)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$

Подставляем известные значения:

$$\cos (B)=\frac{7^2+7^2-2^2}{2\cdot 7\cdot 7}$$

$$\cos (B)=\frac{98+98-4}{2\cdot 49}$$

$$\cos (B)=\frac{192}{98}$$

$$\cos (B)\approx 1.9592$$

Мы получили значение косинуса угла $B$, которое превышает 1. Это может быть результатом округлений, ошибки или невозможности построения треугольника с заданными сторонами. Поэтому для этой задачи нет решения.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение задач требует использования геометрических свойств и формул. Я старался предоставить наиболее подробное объяснение для каждой задачи, чтобы облегчить понимание школьникам.