Какие значения имеют неизвестные элементы треугольника ABC, если: 1) Вторая сторона равна 3, третья сторона равна

7, а угол А равен 90°?

Для решения задачи, нам понадобятся различные свойства треугольников, такие как теорема косинусов и теорема синусов. Давайте решим каждую задачу по порядку.

1) У нас есть вторая сторона \( b = 3 \), третья сторона \( c = 4 \) и угол \( A = 135^\circ \). Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти значение первой стороны \( a \).

Теорема косинусов гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(A) \]

Подставляя известные значения:

\[ 4^2 = a^2 + 3^2 - 2 \cdot a \cdot 3 \cdot \cos(135^\circ) \]

\[ 16 = a^2 + 9 - 6a \cdot \cos(135^\circ) \]

Так как \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), подставим это значение и продолжим упрощение уравнения:

\[ 16 = a^2 + 9 + 3\sqrt{2}a \]

\[ 0 = a^2 + 3\sqrt{2}a - 7 \]

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, используя формулу квадратного корня:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставляем:

\[ a = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \]

\[ a = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 + 28}}{2} \]

\[ a = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{46}}{2} \]

Таким образом, первая сторона треугольника имеет два возможных значения: \( a = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{46}}{2} \) или \( a = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{46}}{2} \).

2) У нас есть первая сторона \( a = 2.4 \), вторая сторона \( b = 1.3 \) и угол \( C = 28^\circ \). Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти значение третьей стороны \( c \).

Теорема синусов гласит:

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]

Подставляя известные значения:

\[ \frac{2.4}{\sin(180^\circ - 28^\circ - B)} = \frac{1.3}{\sin(B)} \]

Поскольку \( B = 180^\circ - C \), мы можем заменить \( \sin(180^\circ - 28^\circ - B) \) на \( \sin(28^\circ + B) \):

\[ \frac{2.4}{\sin(28^\circ + B)} = \frac{1.3}{\sin(B)} \]

Затем мы можем переписать это уравнение в виде:

\[ 2.4 \cdot \sin(B) = 1.3 \cdot \sin(28^\circ + B) \]

Теперь мы можем решить это уравнение численно, используя численные методы или калькулятор. Полученное значение будет третьей стороной треугольника \( c \).

3) У нас есть первая сторона \( a = 5 \), угол \( B = 30^\circ \), и угол \( C = 45^\circ \). Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти значение второй стороны \( b \).

Теорема синусов гласит:

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]

Подставляя известные значения:

\[ \frac{5}{\sin(180^\circ - 30^\circ - 45^\circ)} = \frac{b}{\sin(30^\circ)} \]

Переписывая уравнение в виде:

\[ 5 \cdot \sin(30^\circ) = b \cdot \sin(75^\circ) \]

Теперь мы можем решить данное уравнение численно, используя численные методы или калькулятор. Полученное значение будет второй стороной треугольника \( b \).

4) У нас есть первая сторона \( a = 7 \), вторая сторона \( b = 2 \), третья сторона \( c = 7 \), и угол \( A = 90^\circ \). Треугольник в этой задаче является прямоугольным треугольником.

Так как у нас есть все три стороны и один из углов треугольника, мы можем использовать теорему косинусов и теорему синусов для решения задачи.

Используя теорему косинусов, мы можем найти угол \( B \):

\[ \cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

Подставляем известные значения:

\[ \cos(B) = \frac{7^2 + 7^2 - 2^2}{2 \cdot 7 \cdot 7} \]

\[ \cos(B) = \frac{98 + 98 - 4}{2 \cdot 49} \]

\[ \cos(B) = \frac{192}{98} \]

\[ \cos(B) \approx 1.9592 \]

Мы получили значение косинуса угла \( B \), которое превышает 1. Это может быть результатом округлений, ошибки или невозможности построения треугольника с заданными сторонами. Поэтому для этой задачи нет решения.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение задач требует использования геометрических свойств и формул. Я старался предоставить наиболее подробное объяснение для каждой задачи, чтобы облегчить понимание школьникам.