Какие площади прямоугольников получились после деления прямоугольника с периметром 20 см на два прямоугольника

Пусть стороны первого прямоугольника равны \(x\) и \(y\), а стороны второго прямоугольника равны \(a\) и \(b\). Тогда у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
2x + 2y &= 20 \quad \text{(периметр первого прямоугольника)}\\
2a + 2b &= 15 \quad \text{(периметр второго прямоугольника)}
\end{align*}
\]

Используя формулу для периметра прямоугольника, мы можем записать эти уравнения. Теперь давайте решим эту систему уравнений.

1. Периметр первого прямоугольника: \(2x + 2y = 20\)

Чтобы решить это уравнение относительно одной переменной, выразим \(x\) через \(y\). Делим обе части уравнения на 2:

\[
x + y = 10
\]

Теперь выразим \(x\) через \(y\):

\[
x = 10 - y
\]

2. Периметр второго прямоугольника: \(2a + 2b = 15\)

Аналогично, выразим \(a\) через \(b\):

\[
a = \frac{15}{2} - b
\]

Теперь у нас есть выражения для \(x\) и \(a\) через \(y\) и \(b\).

Мы знаем, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле \(S = \text{длина} \times \text{ширина}\). Таким образом, площадь прямоугольника задается как произведение его сторон.

1. Площадь первого прямоугольника: \(S_1 = x \times y = (10 - y) \times y\)

2. Площадь второго прямоугольника: \(S_2 = a \times b = (\frac{15}{2} - b) \times b\)

Теперь рассмотрим каждую площадь в отдельности и найдем их значения.

1. Площадь первого прямоугольника:
Заметим, что площадь прямоугольника является функцией одной переменной \(y\). Найдем максимальное значение площади, найдя максимум этой функции.

Для этого возьмем первую производную площади (частную производную этой функции по переменной \(y\)) и приравняем ее к нулю:

\[
\frac{{dS_1}}{{dy}} = 10 - 2y = 0
\]

Решим это уравнение:

\[
10 = 2y \implies y = \frac{10}{2} = 5
\]

Теперь подставим \(y = 5\) в выражение для площади первого прямоугольника:

\[
S_1 = (10 - 5) \times 5 = 5 \times 5 = 25 \, \text{кв. см}
\]

Таким образом, площадь первого прямоугольника равна 25 квадратным сантиметрам.

2. Площадь второго прямоугольника:
Аналогично, рассмотрим площадь второго прямоугольника в зависимости от переменной \(b\). Найдем максимум этой функции.

Возьмем первую производную площади и приравняем ее к нулю:

\[
\frac{{dS_2}}{{db}} = \frac{15}{2} - 2b = 0
\]

Решим это уравнение:

\[
\frac{15}{2} = 2b \implies b = \frac{\frac{15}{2}}{2} = \frac{15}{4} = 3.75
\]

Теперь найдем значение площади второго прямоугольника при \(b = 3.75\):

\[
S_2 = \left(\frac{15}{2} - 3.75\right) \times 3.75 = 5.625 \, \text{кв. см}
\]

Таким образом, площадь второго прямоугольника составляет 5.625 квадратных сантиметров.

Итак, площади прямоугольников после разделения прямоугольника с периметром 20 см на два прямоугольника с периметрами 15 см и 5 см равны соответственно 25 квадратных сантиметров и 5.625 квадратных сантиметров.