Какие координаты имеет точка пересечения отрезка CD и луча АВ на координатной плоскости?

Чтобы определить координаты точки пересечения отрезка CD и луча AB, нам понадобится знание координат этих двух отрезков на координатной плоскости. Предположим, что у нас есть следующая информация:

Отрезок CD задан своими координатами точек C(x₁, y₁) и D(x₂, y₂).
Луч AB задан своими координатами точек A(x₃, y₃) и B(x₄, y₄).

Для определения точки пересечения отрезка CD и луча AB мы можем воспользоваться системой уравнений, состоящей из уравнений прямых, на которых лежат эти отрезок и луч:

Уравнение прямой, проходящей через точки CD:
\[
\frac{{y-y₁}}{{y₂-y₁}} = \frac{{x-x₁}}{{x₂-x₁}}
\]

Уравнение прямой, проходящей через точки AB:
\[
\frac{{y-y₃}}{{y₄-y₃}} = \frac{{x-x₃}}{{x₄-x₃}}
\]

Теперь нам нужно найти значения x и y, которые являются решениями этой системы уравнений. Мы можем сделать это путем решения этой системы уравнений методом подстановки или методом уравнения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Для начала, возьмем уравнение прямой, проходящей через точки CD.

\[
\frac{{y-y₁}}{{y₂-y₁}} = \frac{{x-x₁}}{{x₂-x₁}}
\]

Подставим значения x₃ и y₃ в это уравнение:

\[
\frac{{y-y₁}}{{y₂-y₁}} = \frac{{x-x₁}}{{x₂-x₁}} \quad (1)
\]

Теперь подставим уравнение прямой, проходящей через точки AB, вместо x и y в уравнение (1):

\[
\frac{{y₃-y₁+(y₂-y₁)t}}{{y₂-y₁}} = \frac{{x₃-x₁+(x₂-x₁)t}}{{x₂-x₁}}
\]

Где t - параметр, описывающий положение точки на отрезке CD. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
(y₃-y₁)(x₂-x₁) + (y₂-y₁)(x₃-x₁) t = (y₂-y₁)y+(x₂-x₁)x \quad (2)
\]

Теперь уравнение (2) подставим в уравнение прямой AB:

\[
\frac{{(y₃-y₁)(x₂-x₁) + (y₂-y₁)(x₃-x₁) t}}{{y₂-y₁}} = \frac{{x₄-x₃}}{{y₄-y₃}}t+x₃ \quad (3)
\]

Решим полученное уравнение (3) относительно t:

\[
(y₃-y₁)(x₂-x₁) + (y₂-y₁)(x₃-x₁) t = \frac{{(x₄-x₃t)(y₂-y₁)}}{{y₄-y₃}}
\]

\[
(y₂-y₁)(x₃-x₁) t - \frac{{(x₄-x₃)(y₂-y₁)}}{{y₄-y₃}} = (y₁-y₃)(x₂-x₁)
\]

\[
t = \frac{{(y₁-y₃)(x₂-x₁) + (x₄-x₃)(y₂-y₁)}}{{(y₂-y₁)(x₃-x₁)-(x₄-x₃)(y₁-y₃)}}
\]

После того как мы найдем значение t, мы можем использовать его в уравнении (2), чтобы найти координаты точки пересечения:

\[
x = x₃ + (x₄-x₃)t
\]
\[
y = y₃ + (y₄-y₃)t
\]

Таким образом, мы можем найти координаты точки пересечения отрезка CD и луча AB, используя эти формулы и данные координат точек C, D, A и B.