Какие координаты имеет точка А, если: а) угол а равен 60°, а расстояние ОА равно 4; б) угол а равен 150°, а расстояние

Давайте начнем с задачи а). У нас есть угол \(\alpha = 60^\circ\) и расстояние \(OA = 4\). Чтобы найти координаты точки A, нам понадобится некоторое знание о тригонометрии.

Здесь у нас есть прямоугольная система координат, где \(O\) - начало координат и \(A\) - точка, которую мы хотим найти. Предположим, что координаты точки А - \((x, y)\).

Так как \(O\) - начало координат, то расстояние по горизонтали (ось \(x\)) от \(O\) до \(A\) будет \(x\), а расстояние по вертикали (ось \(y\)) будет \(y\).

Теперь, зная угол \(\alpha = 60^\circ\), мы можем использовать тригонометрию для определения координат. В прямоугольном треугольнике, образованном осью \(x\), осью \(y\) и линией \(OA\), у нас есть следующие отношения:

\(\sin \alpha = \frac{y}{OA}\) и \(\cos \alpha = \frac{x}{OA}\).

Мы знаем, что \(\alpha = 60^\circ\) и \(OA = 4\). Подставим эти значения и решим уравнения:

\(\sin 60^\circ = \frac{y}{4}\) и \(\cos 60^\circ = \frac{x}{4}\).

Известно, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Подставим эти значения:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{y}{4}\) и \(\frac{1}{2} = \frac{x}{4}\).

Мы можем переписать эти уравнения в следующем виде:

\(2\sqrt{3} = y\) и \(2 = x\).

Таким образом, мы получаем координаты точки A: \((x, y) = (2, 2\sqrt{3})\).

Теперь перейдем к задаче б). У нас есть угол \(\alpha = 150^\circ\) и расстояние \(OA = 6\). Мы можем применить те же шаги, что и в задаче а), чтобы найти координаты точки A.

Используя тригонометрические отношения, мы получаем следующие уравнения:

\(\sin 150^\circ = \frac{y}{6}\) и \(\cos 150^\circ = \frac{x}{6}\).

Известно, что \(\sin 150^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим эти значения:

\(\frac{1}{2} = \frac{y}{6}\) и \(-\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{6}\).

Упростим эти уравнения:

\(3 = y\) и \(-\sqrt{3} = x\).

Таким образом, мы получаем координаты точки A: \((x, y) = (-\sqrt{3}, 3)\).

Теперь мы знаем координаты точки A для обоих случаев. Задача выполнена.