Какие функции можно выбрать в качестве фундаментальной системы решений

Question

Математика: Какие функции можно выбрать в качестве фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если известны корни

Raisa · Accepted Answer

Для нахождения фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, необходимо использовать корни его характеристического уравнения. В данном случае, у нас имеются два корня: λ1 = 1 и λ2 = 0. Так как имеется кратность корней, то необходимо придерживаться соответствующих правил.

Если корень λ имеет кратность k, то к соответствующей функции решения в фундаментальной системе добавляется k других функций, которые также являются решениями уравнения, и имеют вид:
\[e^{\lambda t}, te^{\lambda t}, t^2e^{\lambda t}, ..., t^{k-1}e^{\lambda t}\]

Таким образом, для корня λ1 = 1 с кратностью 1, фундаментальная система решений будет содержать одну функцию:
\[e^t\]

Для корня λ2 = 0 с кратностью 2, фундаментальная система решений будет содержать две функции:
\[1, t\]

В итоге, фундаментальная система решений для данного уравнения будет состоять из трех функций:
\[e^t, 1, t\]

Помните, что эти функции образуют базис в пространстве решений уравнения, что значит, что любое решение уравнения может быть представлено в виде их линейной комбинации.

Какие функции можно выбрать в качестве фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального

Raisa

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!