Какие два числа Петя увидел на стекле магазина, начинающиеся с цифры 6, при условии, что остальные цифры этих чисел

Данная задача требует нахождения двух чисел, которые начинаются с цифры 6, таких, что остальные цифры в этих числах не равны 6, и произведение этих чисел остается неизменным при записи их наоборот.

Пусть первое число, начинающееся с цифры 6, будет представлено следующей формулой: $6000+100a+10b+c$, где $a$, $b$ и $c$ - это цифры, принимающие значения от 0 до 9.

Аналогично, второе число, начинающееся с цифры 6, можно представить формулой: $6000+100c+10b+a$.

Так как произведение этих чисел не меняется при записи их наоборот, получаем:

$$(6000+100a+10b+c)(6000+100c+10b+a)=(6000+100c+10b+a)(6000+100a+10b+c)$$

Раскроем скобки:

$$36,000,000+6,000(100a+100c+20b)+1,000(10ac+ab+cb)+100(ab+ac+10bc)+(a^2+b^2+c^2)=$$
$$36,000,000+6,000(100c+100a+20b)+1,000(10ca+cb+ab)+100(ac+bc+10ab)+(c^2+b^2+a^2)$$

Упростим это уравнение:

$$6,000(100a+100c+20b)+1,000(10ac+ab+cb)+100(ab+ac+10bc)+(a^2+b^2+c^2)=$$
$$6,000(100c+100a+20b)+1,000(10ca+cb+ab)+100(ac+bc+10ab)+(c^2+b^2+a^2)$$

Заметим, что у всех слагаемых в уравнении первого числа и второго числа коэффициенты совпадают, кроме слагаемого $a^2+b^2+c^2$ и $c^2+b^2+a^2$ соответственно. Это означает, что $a^2+b^2+c^2=c^2+b^2+a^2$.

Вычитаем это равенство из обоих частей уравнения:

$$6,000(100a+100c+20b)+1,000(10ac+ab+cb)+100(ab+ac+10bc)=6,000(100c+100a+20b)+1,000(10ca+cb+ab)+100(ac+bc+10ab)$$

Приравниваем коэффициенты при $a$, $b$ и $c$:

$$6,000(100a+100c+20b)=6,000(100c+100a+20b)$$
$$1,000(10ac+ab+cb)=1,000(10ca+cb+ab)$$
$$100(ab+ac+10bc)=100(ac+bc+10ab)$$

Первое уравнение даёт нам ноль, будучи упрощенным. Второе и третье уравнения также дают нам ноль:

$$10ac+ab+cb=10ca+cb+ab$$
$$ab+ac+10bc=ac+bc+10ab$$

Так как цифры в обоих числах не равны 6, то они не равны между собой. Это означает, что $ac-ca=0$ и $ab-ba=0$.

Из этого следует, что $ac=ca$ и $ab=ba$. Таким образом, $a=c$ и $a=b$, что дает нам два возможных значения для каждой переменной: 0 и 9.

Таким образом, Петя мог увидеть два числа на стекле магазина, начинающиеся с цифры 6: 6009 и 6996.

Итак, ответ на задачу: два числа, которые Петя увидел на стекле магазина, начинающиеся с цифры 6, и при этом остальные цифры в этих числах не равны 6, и их произведение не меняется при записи наоборот, это 6009 и 6996.