Какие два числа Петя увидел на стекле магазина, начинающиеся с цифры 6, при условии, что остальные цифры этих чисел

Данная задача требует нахождения двух чисел, которые начинаются с цифры 6, таких, что остальные цифры в этих числах не равны 6, и произведение этих чисел остается неизменным при записи их наоборот.

Пусть первое число, начинающееся с цифры 6, будет представлено следующей формулой: \(6000 + 100a + 10b + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это цифры, принимающие значения от 0 до 9.

Аналогично, второе число, начинающееся с цифры 6, можно представить формулой: \(6000 + 100c + 10b + a\).

Так как произведение этих чисел не меняется при записи их наоборот, получаем:

\[(6000 + 100a + 10b + c)(6000 + 100c + 10b + a) = (6000 + 100c + 10b + a)(6000 + 100a + 10b + c)\]

Раскроем скобки:

\[36,000,000 + 6,000(100a + 100c + 20b) + 1,000(10ac + ab + cb) + 100(ab + ac + 10bc) + (a^2 + b^2 + c^2) =\]
\[36,000,000 + 6,000(100c + 100a + 20b) + 1,000(10ca + cb + ab) + 100(ac + bc + 10ab) + (c^2 + b^2 + a^2)\]

Упростим это уравнение:

\[6,000(100a + 100c + 20b) + 1,000(10ac + ab + cb) + 100(ab + ac + 10bc) + (a^2 + b^2 + c^2) =\]
\[6,000(100c + 100a + 20b) + 1,000(10ca + cb + ab) + 100(ac + bc + 10ab) + (c^2 + b^2 + a^2)\]

Заметим, что у всех слагаемых в уравнении первого числа и второго числа коэффициенты совпадают, кроме слагаемого \(a^2 + b^2 + c^2\) и \(c^2 + b^2 + a^2\) соответственно. Это означает, что \(a^2 + b^2 + c^2 = c^2 + b^2 + a^2\).

Вычитаем это равенство из обоих частей уравнения:

\[6,000(100a + 100c + 20b) + 1,000(10ac + ab + cb) + 100(ab + ac + 10bc) = 6,000(100c + 100a + 20b) + 1,000(10ca + cb + ab) + 100(ac + bc + 10ab)\]

Приравниваем коэффициенты при \(a\), \(b\) и \(c\):

\[6,000(100a + 100c + 20b) = 6,000(100c + 100a + 20b)\]
\[1,000(10ac + ab + cb) = 1,000(10ca + cb + ab)\]
\[100(ab + ac + 10bc) = 100(ac + bc + 10ab)\]

Первое уравнение даёт нам ноль, будучи упрощенным. Второе и третье уравнения также дают нам ноль:

\[10ac + ab + cb = 10ca + cb + ab\]
\[ab + ac + 10bc = ac + bc + 10ab\]

Так как цифры в обоих числах не равны 6, то они не равны между собой. Это означает, что \(ac - ca = 0\) и \(ab - ba = 0\).

Из этого следует, что \(ac = ca\) и \(ab = ba\). Таким образом, \(a = c\) и \(a = b\), что дает нам два возможных значения для каждой переменной: 0 и 9.

Таким образом, Петя мог увидеть два числа на стекле магазина, начинающиеся с цифры 6: 6009 и 6996.

Итак, ответ на задачу: два числа, которые Петя увидел на стекле магазина, начинающиеся с цифры 6, и при этом остальные цифры в этих числах не равны 6, и их произведение не меняется при записи наоборот, это 6009 и 6996.