Какая скорость изменения площади диска, когда его радиус равен 2 см, если он расширяется при нагревании и его радиус

Чтобы найти скорость изменения площади диска, мы должны использовать производную. Площадь диска выражается формулой \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, \(\pi\) - число пи, а \(r\) - радиус диска.

Чтобы найти скорость изменения площади, нам нужно найти производную площади по времени \(t\). Обозначим производную через \(\frac{dS}{dt}\).

Так как радиус \(r\) увеличивается равномерно на 0,01 см/с, мы можем записать это как \(\frac{dr}{dt} = 0,01\) см/с.

Теперь мы можем использовать цепное правило дифференцирования, чтобы найти производную площади по времени:

\(\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}\).

Окончательно, чтобы найти производную площади по времени, мы должны найти производную площади по радиусу.

Распишем это:

\(\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2)\).

Продифференцируем площадь по радиусу:

\(\frac{dS}{dr} = 2\pi r\).

Теперь мы можем вставить это значение в наше выражение для \(\frac{dS}{dt}\):

\(\frac{dS}{dt} = (2\pi r) \cdot \left(\frac{dr}{dt}\right)\).

Теперь мы можем подставить значения радиуса \(r = 2\) см и скорости изменения радиуса \(\frac{dr}{dt} = 0,01\) см/с в данное уравнение:

\(\frac{dS}{dt} = (2\pi \cdot 2) \cdot 0,01\).

Вычислим это:

\(\frac{dS}{dt} = 0,04\pi\) (см\(^2\)/с).

Таким образом, скорость изменения площади диска, когда его радиус равен 2 см и он расширяется при нагревании со скоростью 0,01 см/с, равна \(0,04\pi\) (см\(^2\)/с).