Какая площадь прямоугольника с периметром 46 и диагональю Корень из 269? Если возможно, предоставьте решение

Хорошо! Чтобы найти площадь прямоугольника с заданным периметром и диагональю, нам понадобится использовать некоторые свойства прямоугольников и прямоугольных треугольников.

Пусть длины сторон прямоугольника равны \(a\) и \(b\), а диагональ равна \(d\). Мы знаем, что периметр прямоугольника равен двум разам суммы его сторон, то есть \(2(a + b) = 46\). То есть у нас есть уравнение:

\[2a + 2b = 46 \quad \text{(1)}\]

Мы также знаем, что диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного этим прямоугольником. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, мы знаем, что диагональ равна \(\sqrt{269}\), так что у нас есть уравнение:

\[a^2 + b^2 = 269 \quad \text{(2)}\]

У нас есть система уравнений (1) и (2), которую мы можем решить, чтобы найти значения сторон \(a\) и \(b\) прямоугольника.

Давайте начнем с уравнения (1). Делим оба выражения на 2, чтобы получить:

\[a + b = 23 \quad \text{(3)}\]

Теперь, давайте решим систему уравнений (3) и (2). Один из способов это сделать - выразить одну переменную через другую в уравнении (3) и заменить в уравнении (2).

Из уравнения (3) можно выразить переменную \(a\) через \(b\):

\[a = 23 - b\]

Теперь заменим \(a\) в уравнении (2):

\[(23 - b)^2 + b^2 = 269\]

Разложим второе слагаемое:

\[23^2 - 2 \cdot 23b + b^2 + b^2 = 269\]

Упростим уравнение:

\[529 - 46b + 2b^2 = 269\]

Перенесем все слагаемые влево:

\[2b^2 - 46b + 529 - 269 = 0\]

\[2b^2 - 46b + 260 = 0\]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) и воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Если дискриминант \(D\) положительный, у нас будут два разных вещественных корня. Если \(D\) равен нулю, у нас будет один вещественный корень. Если \(D\) отрицательный, у нас не будет вещественных корней.

В нашем случае, у нас есть:

\[a = 2, \quad b = -46, \quad c = 260\]

Вычислим дискриминант \(D\):

\[D = (-46)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 260 = 2116 - 2080 = 36\]

Дискриминант положительный, поэтому у нас есть два разных вещественных корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит следующим образом:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[x_1 = \frac{46 + \sqrt{36}}{4} = \frac{46 + 6}{4} = \frac{52}{4} = 13\]
\[x_2 = \frac{46 - \sqrt{36}}{4} = \frac{46 - 6}{4} = \frac{40}{4} = 10\]

Мы получили два значения для \(b\): 13 и 10.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(a\), мы можем заменить \(b\) в уравнении (3):

\[a = 23 - 13 = 10\]
\[a = 23 - 10 = 13\]

Итак, у нас есть две пары значений сторон прямоугольника: (10, 13) и (13, 10).

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем использовать формулу площади прямоугольника:

\[S = a \cdot b\]

Если мы подставим значения, то получим:

Для (10, 13):
\[S = 10 \cdot 13 = 130\]

Для (13, 10):
\[S = 13 \cdot 10 = 130\]

Таким образом, площадь прямоугольника равна 130, независимо от порядка длин его сторон.