Какая масса газов должна быть выброшена реактивным двигателем в секунду, чтобы поддерживать движение ракеты массой

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся законом сохранения импульса. Импульс системы до выброса газов должен равняться импульсу системы после выброса газов.

Масса ракеты до выброса газов составляет 4 т, что равняется 4000 кг. Радиус орбиты ракеты вдвое больше радиуса Земли, значит радиус орбиты равен \(2R\), где \(R\) - радиус Земли.

По закону всемирного тяготения \(F = \frac{{Gm_1m_2}}{{r^2}}\), где \(F\) - сила, действующая между двумя телами, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, \(r\) - расстояние между телами.

Используя второй закон Ньютона \(F = ma\), где \(F\) - сила, \(m\) - масса тела, \(a\) - ускорение, получим равенство \(\frac{{Gm_1m_2}}{{r^2}} = ma\).

Масса газа, выброшенного реактивным двигателем в секунду, будем обозначать как \(m_g\). Тогда с учетом закона сохранения импульса до и после выброса газа получим уравнение:

\((m_1 + m_g)v_1 = (m_1 - m_g)v_2\),

где \(v_1\) - начальная скорость ракеты, \(v_2\) - скорость ракеты после выброса газа.

Для выражения \(m_g\) воспользуемся вторым законом Ньютона:

\(F = ma\),

где \(F\) - сила, действующая на ракету, \(m\) - масса газа, \(a\) - ускорение.

Сила, действующая на ракету, состоит из силы тяжести и силы отделяющейся массы газа. Таким образом, \(F = mg + ma\).

Масса газа, выброшенного в секунду, равна \(m_g\) и можно найти, используя следующее уравнение:

\(m_g = \frac{{F - mg}}{{a}}\).

Теперь мы можем начать решение задачи:

1. Найдем ускорение ракеты на орбите, выражая его через радиус орбиты:
\[a = \frac{{v^2}}{r}\]
где
\(v\) - скорость ракеты на орбите,
\(r\) - радиус орбиты.

Так как скорость ракеты удвоена, \(v = 2v_1\).
Радиус орбиты равен \(2R\), где \(R\) - радиус Земли.

Подставляем значения:
\[a = \frac{{(2v_1)^2}}{2R}\]

2. Найдем силу тяжести, действующую на ракету:
\[mg = m_1 \cdot g\]
где
\(m\) - масса газа,
\(g\) - ускорение свободного падения.

3. Найдем силу, действующую на ракету, выразив ее через массу газа:
\[F = mg + ma\]
где
\(a\) - ускорение ракеты на орбите.

Подставляем значения:
\[F = m_1 \cdot g + m_1 \cdot a\]

4. Найдем массу газа, выброшенного в секунду:
\[m_g = \frac{{F - mg}}{{a}}\]

5. Найдем значение \(m_g\) с учетом данного условия:
\[m_g = \frac{{F - mg}}{{a}}\]

Из решения уравнений можно получить массу газов, которая должна быть выброшена реактивным двигателем в секунду, чтобы поддерживать движение ракеты массой 4 т на орбите радиусом вдвое больше радиуса Земли, когда ракета движется со скоростью, удвоенной по сравнению с начальной. Необходимо подставить значения и посчитать для получения конкретного числового ответа.