Какая комбинация факторов производства и объем выпуска будут оптимальными, если производственная функция фирмы имеет

Чтобы найти оптимальную комбинацию факторов производства и объем выпуска, мы должны использовать два фактора производства: капитал (K) и труд (L). Дана производственная функция фирмы вида Q=1000√KL, где Q представляет собой объем выпуска.

Для начала, определимся с издержками производства. Известно, что общие издержки составляют 12 800 долларов. Общие издержки производства (TC) связаны с затратами на капитал (C) и труд (W) следующим образом: TC = C + W.

Цена капитала (C) равна 800 долларам, а ставка заработной платы (W) равна 400 долларам. Подставим эти значения в формулу общих издержек производства: 12 800 = 800K + 400L.

Теперь воспользуемся условием оптимальности производства. Мы хотим найти комбинацию факторов производства, которая даст нам максимальный объем выпуска (Q) при заданных издержках производства. При этом необходимо учесть, что общие издержки производства равны стоимости капитала и труда, то есть TC = C + W = 12 800.

Исходя из производственной функции Q=1000√KL, мы имеем уравнение 12 800 = 800K + 400L.

Теперь найдем альтернативные способы выразить один фактор через другой, чтобы можно было определить оптимальную комбинацию. Разделим обе части уравнения на 400: \(\frac{{12 800}}{{400}} = \frac{{800K}}{{400}} + \frac{{400L}}{{400}}\).

Упростив, получим 32 = 2K + L, или, иначе, L = 32 - 2K.

Теперь мы можем подставить это выражение для труда в нашу производственную функцию, чтобы получить только одну переменную: Q = 1000√K(32 - 2K).

Используя это уравнение, мы можем представить объем выпуска (Q) в зависимости от значения капитала (K). Чтобы найти оптимальную комбинацию, необходимо найти значение капитала (K), при котором объем выпуска (Q) будет максимальным.

Обратите внимание, что производственная функция Q = 1000√K(32 - 2K) является квадратным уравнением. Мы можем найти максимальное значение Q, взяв его первую производную и приравняв к нулю.

Дифференцируем производственную функцию по К: \(\frac{{dQ}}{{dK}} = \frac{{1000}}{{2\sqrt{K}}}(32 - 2K) + \frac{{1000\sqrt{K}}}{2}\).

Из этого мы получаем: \(\frac{{1000}}{{2\sqrt{K}}}(32 - 2K) + \frac{{1000\sqrt{K}}}{2} = 0\).

Упростив это уравнение, получим: \(\frac{{16}}{{K}} - K + \sqrt{K} = 0\).

Теперь, решив это квадратное уравнение, мы можем найти значение капитала (K), при котором объем выпуска (Q) будет оптимальным.

Давайте продолжим наше решение и найдем значение K и соответствующее значение L и Q.