Какая длина стороны правильного треугольника вписанного в окружность, если около окружности описан квадрат со стороной

Для решения данной задачи, давайте взглянем на геометрические свойства правильного треугольника, который вписан в окружность. Мы знаем, что внутри круга находятся все точки, расстояние от которых до центра круга равно радиусу этого круга.

Также, для квадрата, описанного вокруг окружности, каждая его вершина будет лежать на окружности. Обозначим сторону этого квадрата буквой \(a\).

Рассмотрим одну из сторон правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Обозначим длину этой стороны буквой \(x\).

При этом, каждая вершина треугольника будет лежать на окружности, поэтому расстояние от центра окружности до каждой вершины равно \(x\). Расстояние от центра окружности до стороны треугольника является высотой треугольника, и оно равно \(h\).

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение, используя свойство прямоугольного треугольника:

\[
h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = x^2
\]

Также, мы знаем, что внутри прямоугольного треугольника \(h\) равна половине стороны \(a\) этого треугольника, то есть \(h = \frac{a}{2}\).

Подставим это значение в уравнение и решим его:

\[
\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = x^2
\]

\[
\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = x^2
\]

\[
\frac{a^2}{2} = x^2
\]

Перенесем все в одну сторону уравнения:

\[
x^2 - \frac{a^2}{2} = 0
\]

Теперь воспользуемся разности квадратов:

\[
\left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)\left(x + \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = 0
\]

Таким образом, у нас получаются два решения:

\[
x_1 = \frac{a}{\sqrt{2}}
\]

\[
x_2 = -\frac{a}{\sqrt{2}}
\]

Очевидно, что длина стороны правильного треугольника не может быть отрицательной, поэтому мы выбираем положительное значение:

\[
x = \frac{a}{\sqrt{2}}
\]

Таким образом, длина стороны правильного треугольника, вписанного в окружность, равна \(\frac{a}{\sqrt{2}}\).